contrôles en terminale ES

contrôle du 19 décembre 2017

thèmes abordés

  • Probabilités
  • Fonction exponentielle

exercice 1

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

  1. En France, le nombre d'actifs âgés de 50 à 64 ans a fortement augmenté depuis 2005, il est passé de 6,1 millions en 2005 à 8,2 millions en 2016.

    Affirmation 1 :

    Depuis 2005, le nombre d'actifs âgés de 50 à 64 ans a augmenté d'environ 3,13 % chaque année.

  2. M est une matrice carrée d'ordre 3 inversible telle que M2=2M.

    Affirmation 2 :

    M=200020002

  3. Soit un la suite définie par u0=300 et pour tout entier naturel n, un+1=490-0,96×un.

    Affirmation 3 :

    La suite vn définie pour tout entier naturel n par vn=un-250 est une suite géométrique de raison q=0,96 et de premier terme v0=50.

  4. On donne ci-dessous la courbe représentative 𝒞 de la dérivée f d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur .

    Courbe représentative de la dérivée f' : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Affirmation 4 :

    Sur l'intervalle -23, la fonction f est décroissante.

    Affirmation 5 :

    Sur l'intervalle -51, la fonction f est convexe.


exercice 2

Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième. Les parties A et B sont indépendantes.

Une étude sur l'ensemble des personnes ayant exercé un emploi en France en 2016 a permis d'établir que :

partie a

On interroge au hasard une personne ayant occupé un emploi en 2016 et on note :

  1. Calculer les probabilités pS¯ et pS¯E¯.

  2. Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

    Arbre de probabilités : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Calculer pSE¯. Interpréter le résultat.

  4. Montrer que la probabilité qu'une personne occupe en 2016 un emploi à temps partiel est égale à 0,188.

  5. La personne interrogée occupait un emploi à temps partiel. Quelle est la probabilité qu'elle était âgée de plus de 50 ans ?

partie b

Le taux d'activité est le rapport entre le nombre d'actifs (actifs occupés et chômeurs) et l'ensemble de la population correspondante.
En France, le taux d'activité des personnes âgées de 15 à 24 ans est de 36,9 %.

On choisit au hasard 30 personnes âgées de 15 à 24 ans. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre d'actifs.
Le nombre de personnes âgées de 15 à 24 ans dans la population est assez grand pour que l'on puisse considérer que X suit une loi binomiale.

  1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

  2. Déterminer la probabilité que dans ce groupe il y a exactement 10 actifs.

  3. On a calculé ci-dessous, les valeurs des probabilités PXk, pour k allant de 4 à 18.

    kPXkkPXkkPXkkPXkkPXk
    40,004 270,085 5100,421 1130,821 7160,978 4
    50,014 080,165 7110,570 8140,901 4170,991 5
    60,037 890,280 3120,709 5150,951 1180,997 1
    1. Déterminer la probabilité que dans ce groupe il y ait au moins 15 actifs.

    2. Sachant que dans ce groupe, il y a moins de 15 actifs, quelle est la probabilité qu'il y ait plus de 8 actifs ?


exercice 3

partie a

Soit f une fonction définie sur l'intervalle 07 par fx=ax+be0,5x-1,5, où a et b sont deux nombres réels. On admet que la fonction f est deux fois dérivable. On note f sa dérivée et f sa dérivée seconde.
La courbe représentative 𝒞f de la fonction f est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.
La droite 𝒟 est tangente à la courbe 𝒞f au point A.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Par lecture graphique, donner les valeurs de f3 et de f3.

  2. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle 07 on a : fx=0,5ax+a+0,5be0,5x-1,5.

    1. Déduire des deux questions précédentes, en résolvant un système, que a=-1 et b=7.

    2. Donner les expressions de fx et de fx.

    1. Étudier le signe de fx sur l'intervalle 07.

    2. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur ce même intervalle.

  3. Montrer que dans l'intervalle 57, l'équation fx=4 admet une deuxième solution α.

  4. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu le résultat suivant :

     1 gx:=2,5-0,5x*exp0,5x-1,5
    gx=5-xex2-322
     2 Dériver gx
    3-xex2-324

    En s'appuyant sur ce résultat, étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle 07 et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion la courbe 𝒞f.

partie b

Une entreprise fabrique un certain type d'article. Sa capacité de production est limitée à 7 000 articles par jour.
Après avoir fait une étude, le directeur constate que si l'entreprise vend chaque jour x milliers d'articles (où x est un nombre réel de l'intervalle 07), alors le bénéfice quotidien est donné, en milliers d'euros, par la fonction f définie dans la partie A par fx=7-xe0,5x-1,5.

  1. Quelle quantité d'articles l'entreprise doit-elle fabriquer et vendre afin de réaliser un bénéfice maximal ?
    Quel est alors le montant, arrondi à la centaine d'euros près, de ce bénéfice maximal ?

  2. Déterminer l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice supérieur ou égal à 4 000 euros.



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