contrôle du 19 décembre 2017

exercice 1

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

1. En France, le nombre d'actifs âgés de 50 à 64 ans a fortement augmenté depuis 2005, il est passé de 6,1 millions en 2005 à 8,2 millions en 2016.

   Affirmation 1 :

   Depuis 2005, le nombre d'actifs âgés de 50 à 64 ans a augmenté d'environ 3,13 % chaque année.

2. M est une matrice carrée d'ordre 3 inversible telle que $M^2=2M$.

   Affirmation 2 :

   $M=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

3. Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=300$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=490-\mathrm{0,96}\times u_n$.

   Affirmation 3 :

   La suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n=u_n-250$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{0,96}$ et de premier terme $v_0=50$.

4. On donne ci-dessous la courbe représentative 𝒞 de la dérivée $f\prime$ d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur ℝ.

   Affirmation 4 :

   Sur l'intervalle $\left[-2;3\right]$, la fonction f est décroissante.

   Affirmation 5 :

   Sur l'intervalle $\left[-5;1\right]$, la fonction f est convexe.

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exercice 2

Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième. Les parties A et B sont indépendantes.

Une étude sur l'ensemble des personnes ayant exercé un emploi en France en 2016 a permis d'établir que :

• 30 % des personnes sont âgées de plus de 50 ans ;
• 22,3 % des personnes âgées de plus de 50 ans travaillent à temps partiel ;
• 82,7 % des personnes âgées de moins de 50 ans travaillent à temps plein.
  (Source : Insee, enquêtes Emploi.)

partie a

On interroge au hasard une personne ayant occupé un emploi en 2016 et on note :

• S : l'évènement « la personne était âgée de plus de 50 ans » ;
• E : l'évènement « la personne occupait un emploi à temps plein ».

1. Calculer les probabilités $p\left(\overline{S}\right)$ et $p_{\overline{S}}\left(\overline{E}\right)$.

2. Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

3. Calculer $p\left(S\cap \overline{E}\right)$. Interpréter le résultat.

4. Montrer que la probabilité qu'une personne occupe en 2016 un emploi à temps partiel est égale à 0,188.

5. La personne interrogée occupait un emploi à temps partiel. Quelle est la probabilité qu'elle était âgée de plus de 50 ans ?

partie b

Le taux d'activité est le rapport entre le nombre d'actifs (actifs occupés et chômeurs) et l'ensemble de la population correspondante.
En France, le taux d'activité des personnes âgées de 15 à 24 ans est de 36,9 %.

On choisit au hasard 30 personnes âgées de 15 à 24 ans. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre d'actifs.
Le nombre de personnes âgées de 15 à 24 ans dans la population est assez grand pour que l'on puisse considérer que X suit une loi binomiale.

1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

2. Déterminer la probabilité que dans ce groupe il y a exactement 10 actifs.

3. On a calculé ci-dessous, les valeurs des probabilités $P\left(X⩽k\right)$, pour k allant de 4 à 18.

   k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$
   4	0,004 2	7	0,085 5	10	0,421 1	13	0,821 7	16	0,978 4
   5	0,014 0	8	0,165 7	11	0,570 8	14	0,901 4	17	0,991 5
   6	0,037 8	9	0,280 3	12	0,709 5	15	0,951 1	18	0,997 1

   1. Déterminer la probabilité que dans ce groupe il y ait au moins 15 actifs.

   2. Sachant que dans ce groupe, il y a moins de 15 actifs, quelle est la probabilité qu'il y ait plus de 8 actifs ?

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exercice 3

partie a

Soit f une fonction définie sur l'intervalle $\left[0;7\right]$ par $f\left(x\right)=\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x-\mathrm{1,5}}$, où a et b sont deux nombres réels. On admet que la fonction f est deux fois dérivable. On note $f\prime$ sa dérivée et $f″$ sa dérivée seconde.
La courbe représentative ${𝒞}_f$ de la fonction f est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.
La droite 𝒟 est tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A.

1. Par lecture graphique, donner les valeurs de $f\left(3\right)$ et de $f\prime \left(3\right)$.

2. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;7\right]$ on a : $f\prime \left(x\right)=\left(\mathrm{0,5}ax+a+\mathrm{0,5}b\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x-\mathrm{1,5}}$.

3. 1. Déduire des deux questions précédentes, en résolvant un système, que $a=-1$ et $b=7$.

   2. Donner les expressions de $f\left(x\right)$ et de $f\prime \left(x\right)$.

4. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;7\right]$.

   2. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur ce même intervalle.

5. Montrer que dans l'intervalle $\left[5;7\right]$, l'équation $f\left(x\right)=4$ admet une deuxième solution α.

6. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu le résultat suivant :

   1	$g\left(x\right):=\left(\mathrm{2,5}-\mathrm{0,5}x\right)*\exp \left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{1,5}\right)$
   	$\to g\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(5-x\right){\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}-\frac{3}{2}}}{2}}$
   2	Dériver $\left[g\left(x\right)\right]$
   	$\to {\displaystyle \frac{\left(3-x\right){\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}-\frac{3}{2}}}{4}}$

   En s'appuyant sur ce résultat, étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;7\right]$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion la courbe ${𝒞}_f$.

partie b

Une entreprise fabrique un certain type d'article. Sa capacité de production est limitée à 7 000 articles par jour.
Après avoir fait une étude, le directeur constate que si l'entreprise vend chaque jour x milliers d'articles (où x est un nombre réel de l'intervalle $\left[0;7\right]$), alors le bénéfice quotidien est donné, en milliers d'euros, par la fonction f définie dans la partie A par $f\left(x\right)=\left(7-x\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x-\mathrm{1,5}}$.

1. Quelle quantité d'articles l'entreprise doit-elle fabriquer et vendre afin de réaliser un bénéfice maximal ?
   Quel est alors le montant, arrondi à la centaine d'euros près, de ce bénéfice maximal ?

2. Déterminer l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice supérieur ou égal à 4 000 euros.

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