Dans une ville, un abonnement annuel est proposé pour les spectacles subventionnés par la municipalité. En 2016, il y avait 1 200 abonnés.
Une étude statistique a permis de modéliser l'évolution du nombre d'abonnements pour les prochaines années de la manière suivante :
Chaque année, 70 % des personnes abonnées renouvelleront leur abonnement l'année suivante et 780 nouveaux abonnements seront souscrits.
Selon ce modèle, quel est le nombre d'abonnements prévus pour l'année 2018 ?
On représente l'évolution du nombre d'abonnés par une suite où représente le nombre d'abonnements l'année .
La suite est donc définie par et, pour tout entier naturel n, .
Un gestionnaire écrit l'algorithme suivant :
Tant que
Fin Tant que
Donner une interprétation de la valeur obtenue à la fin de l'exécution de cet algorithme.
Soit la suite définie pour tout entier naturel n par .
Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Exprimer en fonction de n.
En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, .
Déterminer la limite de la suite et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur . On note la dérivée de la fonction f.
On sait que :
À partir du graphique et des renseignements fournis :
Déterminer et .
Déterminer dans chacun des cas, lequel des trois symboles , = ou est approprié :
La fonction f est définie pour tout réel x par .
Montrer que pour tout réel x, .
Étudier le signe de .
Donner le tableau de variations de la fonction f.
Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe au point E d'abscisse .
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