contrôles en terminale ES-L

contrôle du 29 septembre 2017

thèmes abordés

  • Suite arithmético-géométrique.
  • Dérivée d'une fonction, lecture graphique, variation.

exercice 1

Dans une ville, un abonnement annuel est proposé pour les spectacles subventionnés par la municipalité. En 2016, il y avait 1 200 abonnés.
Une étude statistique a permis de modéliser l'évolution du nombre d'abonnements pour les prochaines années de la manière suivante :
Chaque année, 70 % des personnes abonnées renouvelleront leur abonnement l'année suivante et 780 nouveaux abonnements seront souscrits.

  1. Selon ce modèle, quel est le nombre d'abonnements prévus pour l'année 2018 ?

On représente l'évolution du nombre d'abonnés par une suite unun représente le nombre d'abonnements l'année 2016+n.
La suite un est donc définie par u0=1200 et, pour tout entier naturel n, un+1=0,7×un+780.

  1. Un gestionnaire écrit l'algorithme suivant :

    U1200
    N0

    Tant que U2500
    NN+1
    U0,7×U+780
    Fin Tant que

    Donner une interprétation de la valeur N=8 obtenue à la fin de l'exécution de cet algorithme.

  2. Soit vn la suite définie pour tout entier naturel n par vn=un-2600.

    1. Démontrer que la suite vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    2. Exprimer vn en fonction de n.
      En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, un=2600-1400×0,7n.

  3. Déterminer la limite de la suite un et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.


exercice 2

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative 𝒞f d'une fonction f définie et dérivable sur . On note f la dérivée de la fonction f.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On sait que :

partie a

À partir du graphique et des renseignements fournis :

  1. Déterminer f-0,5 et f1.

  2. Déterminer dans chacun des cas, lequel des trois symboles , = ou est approprié :

    1. f-20
    2. f-5f1
    3. f0f8

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par fx=7-4xx2+2.

  1. Montrer que pour tout réel x, fx=4x2-14x-8x2+22.

    1. Étudier le signe de fx.

    2. Donner le tableau de variations de la fonction f.

  2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe 𝒞f au point E d'abscisse -2.



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