contrôles en terminale ES

contrôle du 17 octobre 2017

thèmes abordés

Mecture graphique.
Étude d'une fonction, dérivée, variation, convexité.
Matrices.

exercice 1

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $𝒞_{f}$ d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$ .

L'abscisse du point C est égale à $(- \frac{1}{2})$ .
La tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point $B (- 3; 2)$ passe par le point de coordonnées $(- 5; 0)$ .
La tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point D a pour équation $y = - x + 4$ .

On note $f'$ la dérivée de la fonction f et $f ″$ la dérivée seconde de la fonction f.

1. Tracer la tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point D.
2. Déterminer $f' (2)$ .

Les réponses aux questions suivantes seront justifiées à partir d'arguments graphiques.

Déterminer $f' (- 3)$ et $f' (4)$ .
Déterminer dans chacun des cas, lequel des trois symboles ⩽, = ou ⩾ est approprié :
$f' (- 5) \dots 0$
$f' (- 7) \dots f' (6)$
$f ″ (- 1) \dots f ″ (3)$
$f ″ (2) \dots 0$
Quels sont les points d'inflexion de la courbe $𝒞_{f}$ ?

Une des quatre courbes $𝒞_{1}$ , $𝒞_{2}$ , $𝒞_{3}$ et $𝒞_{4}$ ci-dessous est la courbe représentative de la dérivée $f'$ et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde $f ″$ .
Déterminer la courbe qui représente la dérivée $f'$ et celle qui représente la dérivée seconde $f ″$ .


Courbe $𝒞_{1}$	Courbe $𝒞_{2}$

Courbe $𝒞_{3}$	Courbe $𝒞_{4}$

exercice 2

On considère la fonction f définie et dérivable pour tout réel x par $f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} - 3}{x^{2} + 3}$ .

partie a

Montrer que pour tout réel x, $f' (x) = \frac{x^{4} + 9 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ où $f'$ est la fonction dérivée de f.
Étudier le signe de $f' (x)$ et en déduire le sens de variation de la fonction f.
1. Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution α sur l'intervalle $[0; 2]$ .
2. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à $10^{- 2}$ près de la solution α.

partie b

On admet que la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f ″ (x) = \frac{- 6 x (x^{2} - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction f est convexe ou concave.
La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ?

exercice 3

Une entreprise vend trois articles notés $A_{1}$ , $A_{2}$ et $A_{3}$ . La fabrication de chacun de ces articles nécessite trois ressources X, Y et Z (par exemple travail, matières premières et énergie).
Le tableau suivant présente les coûts des ressources en euros, nécessaires à la fabrication de chaque article.

	X	Y	Z
$A_{1}$	15	10	3
$A_{2}$	12	8	5
$A_{3}$	8	9	5

1. Effectuer le produit $(\begin{array}{rrr} 15 & 10 & 3 \\ 12 & 8 & 5 \\ 8 & 9 & 5 \end{array}) \times (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ et interpréter le résultat.
2. À l'aide d'un produit de matrices, calculer le coût total de production pour la fabrication de 100 articles de chaque sorte.
La matrice des commandes de deux clients notés $C_{1}$ et $C_{2}$ est $C = (\begin{array}{rrr} 10 & 5 & 7 \\ 20 & 12 & 18 \end{array})$ les lignes étant relatives aux clients et les colonnes aux articles.
1. Effectuer le produit $(\begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix}) \times C$ et interpréter le résultat.
2. Le prix de vente unitaire de chacun des trois articles est respectivement 45 €, 50 € et 35 €.
  Calculer à l'aide d'un produit de deux matrices, le montant en euros de la commande de chacun des clients.

exercice 4

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Soit A et B deux matrices définies par : $A = (\begin{array}{ll} x & 4 \\ x - 1 & 3 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{ll} x & 2 \\ 2 x & x - 1 \end{array})$ où x est un réel fixé.
1. affirmation 1 : $A \times B = (\begin{array}{ll} x^{2} + 8 x & 10 x \\ x^{2} - x & 5 x - 1 \end{array})$ .
2. affirmation 2 : Il existe une unique valeur x pour laquelle $A \times B = (\begin{array}{rr} 4 & 8 \\ 14 & 5 \end{array})$ .
Soit f une fonction deux fois dérivable telle que pour tout x réel, $f ″ (x) = 3 x + 2$ , $f' (3) = 2$ et $f (3) = 5$ .
1. affirmation 3 : La fonction est convexe sur $[- \frac{2}{3}; 3]$ .
2. affirmation 4 : L'équation de la tangente au point d'abscisse 3 est $y = 2 x + 5$ .

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