contrôles en terminale ES

contrôle du 17 octobre 2017

thèmes abordés

  • Mecture graphique.
  • Étude d'une fonction, dérivée, variation, convexité.
  • Matrices.

exercice 1

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative 𝒞f d'une fonction f définie et dérivable sur .

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On note f la dérivée de la fonction f et f la dérivée seconde de la fonction f.

    1. Tracer la tangente à la courbe 𝒞f au point D.

    2. Déterminer f2.

Les réponses aux questions suivantes seront justifiées à partir d'arguments graphiques.

  1. Déterminer f-3 et f4.

  2. Déterminer dans chacun des cas, lequel des trois symboles , = ou est approprié :

    f-50

    f-7f6

    f-1f3

    f20

  3. Quels sont les points d'inflexion de la courbe 𝒞f ?

  4. Une des quatre courbes 𝒞1, 𝒞2, 𝒞3 et 𝒞4 ci-dessous est la courbe représentative de la dérivée f et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde f.
    Déterminer la courbe qui représente la dérivée f et celle qui représente la dérivée seconde f.

    Courbe C1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe C2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Courbe 𝒞1Courbe 𝒞2
    Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe C4 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Courbe 𝒞3Courbe 𝒞4

exercice 2

On considère la fonction f définie et dérivable pour tout réel x par fx=x3-x2-3x2+3.

partie a

  1. Montrer que pour tout réel x, fx=x4+9x2x2+32f est la fonction dérivée de f.

  2. Étudier le signe de fx et en déduire le sens de variation de la fonction f.

    1. Montrer que l'équation fx=0 admet une unique solution α sur l'intervalle 02.

    2. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 10-2 près de la solution α.

partie b

On admet que la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur par fx=-6xx2-9x2+33.

  1. Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction f est convexe ou concave.

  2. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ?


exercice 3

Une entreprise vend trois articles notés A1, A2 et A3. La fabrication de chacun de ces articles nécessite trois ressources X, Y et Z (par exemple travail, matières premières et énergie).
Le tableau suivant présente les coûts des ressources en euros, nécessaires à la fabrication de chaque article.

XYZ
A115103
A21285
A3895
    1. Effectuer le produit 151031285895×111 et interpréter le résultat.

    2. À l'aide d'un produit de matrices, calculer le coût total de production pour la fabrication de 100 articles de chaque sorte.

  1. La matrice des commandes de deux clients notés C1 et C2 est C=1057201218 les lignes étant relatives aux clients et les colonnes aux articles.

    1. Effectuer le produit 11×C et interpréter le résultat.

    2. Le prix de vente unitaire de chacun des trois articles est respectivement 45 €, 50 € et 35 €.
      Calculer à l'aide d'un produit de deux matrices, le montant en euros de la commande de chacun des clients.


exercice 4

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

  1. Soit A et B deux matrices définies par : A=x4x-13 et B=x22xx-1x est un réel fixé.

    1. affirmation 1 :A×B=x2+8x10xx2-x5x-1.

    2. affirmation 2 : Il existe une unique valeur x pour laquelle A×B=48145.

  2. Soit f une fonction deux fois dérivable telle que pour tout x réel, fx=3x+2, f3=2 et f3=5.

    1. affirmation 3 : La fonction est convexe sur -233.

    2. affirmation 4 : L'équation de la tangente au point d'abscisse 3 est y=2x+5.



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