contrôles en terminale ES

contrôle du 13 février 2018

thèmes abordés

  • Probabilités : probabilité conditionnelle, loi binomiale.
  • Graphes : chaîne eulérienne, algorithme de Dijkstra.
  • Fonction logarithme.

exercice 1

Dans cet exercice, les résultats seront si nécessaire, arrondis au dix millième près.

Un fabriquant de lentilles hydrophiles a constaté à l'issue de la fabrication, que ces lentilles peuvent avoir une perméabilité à l'oxygène défectueuse.
On admet que dans cette production, 23 % des lentilles présentent ce défaut.

L'entreprise décide de mettre en place un test de contrôle de qualité de ces lentilles avant leur mise en vente.
Ce contrôle détecte et élimine 90 % des lentilles défectueuses, mais il élimine également à tort 4 % des lentilles non défectueuses. Les lentilles non éliminées sont alors mises en vente.

On prélève une lentille au hasard dans cette production et on note :

partie a

  1. Recopier et compléter l'arbre probabiliste modélisant la situation :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Calculer la probabilité que la lentille soit défectueuse et mise en vente.

  3. Montrer que la probabilité qu'une lentille soit mise en vente est égale à 0,7622.

  4. Quelle est la probabilité qu'une lentille mise en vente soit défectueuse ?

partie b

Dans le stock de lentilles commercialisées par l'entreprise, on admet que 3 % des lentilles sont défectueuses.
On prélève au hasard un lot de n lentilles. On suppose que le nombre de lentilles est suffisamment grand pour assimiler ce prélèvement à des tirages successifs avec remise.
Soit X la variable aléatoire qui à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de lentilles défectueuses.

  1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

  2. On suppose dans cette question, que n=25.
    Quelle est la probabilité, arrondie au millième près, que dans un lot de 25 lentilles, il y ait au moins une lentille défectueuse ?

    1. Déterminer le plus petit entier n solution de l'inéquation : 1-0,97n0,95.

    2. Interpréter le résultat.


exercice 2

Les deux parties sont indépendantes.

partie a

On considère le graphe dont la matrice associée est M=0000110000101000010110010010000111100100100010110000010100110110.

  1. Quel l'ordre du graphe ? Quel est le nombre d'arêtes de ce graphe ?

  2. On donne les deux matrices M2=2110111112111101114112110112111111114112112114111011112111112114 et M3=2232552322525323354584382252332555834834534384582232352533854854. Quelle est la longueur de la plus courte chaîne entre les sommets 1 et 4 ?

  3. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? Justifier la réponse.

partie b

Le graphe ci-dessous, modélise le plan du quartier dans lequel un facteur effectue sa tournée à partir du sommet C.
Les nombres présents sur chacune des arêtes indiquent le temps moyen en minutes mis par le facteur pour distribuer le courrier dans chaque rue.

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Le facteur souhaite effectuer sa tournée de manière à arriver le plus rapidement en A tout en distribuant le courrier dans chaque rue où il passe.

  1. À l'aide d'un algorithme, déterminer le parcours permettant d'aller du sommet C au sommet A le plus rapidement possible. Préciser alors le trajet à emprunter.

  2. Est-il possible pour le facteur de revenir en C pour distribuer le courrier restant dans chacune des rues où il n'est pas passé sans avoir à repasser par une des rues déjà empruntée ? Si oui donner un parcours possible.
    Quel est alors le temps mis par le facteur pour effectuer sa tournée complète?


exercice 3

Soit f une fonction définie sur l'intervalle 0+ par fx=x22lnx-3+3. On admet que la fonction f est deux fois dérivable.
La courbe représentative 𝒞f de la fonction f est donnée ci-dessous dans un repère orthogonal.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. On note f la dérivée de la fonction f.

    1. Montrer que pour tout réel x strictement positif, on a : fx=4xlnx-4x.

    2. Étudier le signe de fx.

    3. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle 0+.

  2. Déterminer une équation de la tangente 𝒟 à la courbe 𝒞f représentative de la fonction f au point A d'abscisse 1.

    1. Déterminer le nombre de solutions de l'équation fx=0.

    2. Donner les valeurs, éventuellement arrondies à 10-3 près, de chacune des solutions.

  3. Étudier les positions relatives de la courbe 𝒞f par rapport à sa tangente 𝒟.



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