contrôles en terminale ES

bac blanc du 9 Mars 2018

thèmes abordés

  • Suites.
  • Probabilités.
  • Graphes.
  • Fonction logarithme.

exercice 1 : commun à tous les élèves

Au 1er janvier 2018, une association compte 3 000 adhérents. On constate que chaque mois :

partie a

  1. Déterminer une estimation du nombre d'adhérents au 1er mars 2018.

On modélise le nombre d'adhérents de l'association par la suite un telle que u0=3 000 et, pour tout entier naturel n, un+1=0,98un+50.
Le terme un donne ainsi une estimation du nombre d'adhérents de l'association au bout de n mois.

  1. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par : vn=un-2 500.

    1. Démontrer que vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    2. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=500×0,98n+2 500.

  2. Étudier le sens de variation de la suite un.

  3. Déterminer la limite de la suite un. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

partie b

La responsable de l'association, souhaite déterminer au bout de combien de mois le nombre de membres inscrits sera inférieur à 2 900.

  1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il permette de répondre au problème posé.

    U3000
    N0

    Tant que
    U
    N
    Fin Tant que

  2. En résolvant l'inéquation : 500×0,98n+2 500<2 900, déterminer la valeur de la variable N obtenue à la fin de l'exécution de l'algorithme précédent.

partie c

Le montant de la cotisation mensuelle à l'association est de 10 euros.
Calculer la somme totale que l'association espère obtenir pour l'année 2018.


exercice 2 : ES obligatoire et L spécialité

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

  1. Le nombre -2 est solution de l'équation :

    a. elnx=-2

    b. ex=-2

    c. lnex=-2

    d. lnx=-ln2

  2. Pour tout réel x, ex2×e3-2x est égal à :

    a. ex2-2x+3

    b. e2x3-2x

    c. ex23-2x

    d. e3

  3. La dérivée de la fonction f:xe2x+ln2 est la fonction :

    a. f:x2ex

    b. f:xe2+12

    c. f:x2ex+12

    d. f:xe2

Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur .
On a tracé ci-dessous la courbe 𝒞f représentative de la fonction f ainsi que les tangentes à la courbe aux points A et B d'abscisses respectives 1 et 4.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. On note f la dérivée de la fonction f et f sa dérivée seconde.

    a. f1=3

    b. f1=2,5

    c. f4=1,5

    d. f4=-2

  2. Le tableau des variations de la fonction dérivée f est :

    a.
    x-4+
    fxfonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -2

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    b.
    x-4+
    fxfonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -2

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    c.
    x-4+
    fxfonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    1,5

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    d.
    x-4+
    fxfonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    1,5

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 2 : ES spécialité

Le graphe ci-dessous, modélise le plan d'un quartier historique d'une ville. Les sommets sont les différents centres d'intérêts et les arêtes les rues.

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. On appelle M la matrice associée à ce graphe les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique.
    On donne deux matrices R=1051419121091185262026171616526414204820382517252915126202617161652649173817372692320151216251626311416191710161716914254241295255231642084112629262019248356841541517124612 et S=1982231715119151083119151622143256221934102621151226123151010565112117162653224815171315222162432136191611141558131722049312115621054152526121719205326106121131644611.

    1. Une des deux matrices R ou S est la matrice M4.
      Sans calculs, indiquer laquelle des deux matrices R ou S est la matrice M4 en justifiant la réponse.

    2. Un touriste a quitté son hôtel H et s'est rendu au jardin J. Au cours de son déplacement, il est passé exactement trois fois devant un des centres d'intérêt du quartier.
      Combien de trajets différents a-t-il pu suivre ? Expliquer.

  2. Déterminer en justifiant si ce graphe est connexe.

  3. Est-il possible pour un touriste de parcourir chaque rue du quartier une et une seule fois en partant de son hôtel H ?

  4. Sur le graphe pondéré ci-dessous, on a indiqué sur les arêtes les distances en mètres entre les différents lieux :

    Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    À l'aide d'un algorithme, déterminer la distance minimale permettant d'aller du sommet H (hôtel) au sommet J (jardin). Préciser alors le trajet à emprunter.


exercice 3 : commun à tous les élèves

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats seront si nécessaire, arrondis à 10-3.

On s'intéresse à un certain modèle de tablette vendues dans un magasin.

partie a

On considère un stock important de tablettes de ce modèle.
On note E l'événement : « une tablette prélevée au hasard dans le stock est défectueuse. »
On suppose que PE=0,02.

On prélève au hasard 100 tablettes dans le stock. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 tablettes.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de tablettes défectueuses.

  1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

  2. On donne en annexe ci-dessous, un extrait du tableau obtenu à l'aide d'un tableur fournissant des probabilités PXk, où k est un entier naturel compris entre 0 et 100.

    k0123456789
    PXk0,132 620,403 270,676 690,858 960,949 170,984 520,995 940,999 070,999 810,999 97

    À l'aide de ce tableau ou de la calculatrice :

    1. calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait exactement quatre tablettes défectueuses ;

    2. calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait au moins deux tablettes défectueuses ;

    3. calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait au plus six tablettes défectueuses sachant qu'au moins deux tablettes sont défectueuses.

partie b

Les tablettes de ce modèle proviennent de deux fournisseurs notés « fournisseur 1 » et « fournisseur 2 ».
Le fournisseur 1 a fourni 60 % des tablettes d'un lot important et le fournisseur 2 a fourni le reste de ce lot. Dans ce lot, 1 % des tablettes provenant du fournisseur 1 sont défectueuses et 1,5 % des tablettes provenant du fournisseur 2 sont défectueuses.
Un client choisi au hasard une tablette dans ce lot. On considère les événements suivants :

  1. Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités PA, PB, PAD et PBD.

    1. Calculer la probabilité d'acheter une tablette défectueuse provenant du fournisseur 1.

    2. Déterminer la probabilité qu'une tablette soit défectueuse.

    3. Le client a acheté une tablette non défectueuse, quelle est la probabilité que cette tablette ait été fabriqué par le fournisseur 2 ?


exercice 4 : commun à tous les élèves

partie a

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle 0+ par fx=x2-xlnx+20.
À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.

 1 fx:=x˄2-x*lnx+20
fx=x2-xlnx+20
 2 gx:= Dériver fxx
gx=2x-lnx-1
 3 Dériver gxx
2-1x
  1. Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est convexe.

  2. On note f la dérivée de la fonction f. Étudier les variations de la dérivée f.

  3. En déduire que la fonction f est strictement croissante.

partie b

Une entreprise produit et commercialise un article. Sa capacité de production est comprise entre 1 000 et 10 000 articles par jour.
Le coût total de production exprimé en milliers d'euros est modélisé sur l'intervalle 110 par la fonction f de la partie A, où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.

Soit Cx le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué.
La fonction C est définie sur l'intervalle 110 par Cx=fxx.

  1. On note C la dérivée de la fonction f. Calculer Cx.

  2. Étudier les variations de la fonction C sur 110.

  3. Montrer que l'équation Cx=11 admet une solution unique α.

    1. Si le prix de vente d'un article est de 7 €, l'entreprise fera-t-elle un bénéfice ?

    2. On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 11 €.
      Déterminer l'intervalle (à la centaine d'article près) dans lequel doit se situer la production x pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.



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