contrôles en terminale ES

contrôle commun № 9 du 24 mai 2018

thèmes abordés

  • QCM fonction logarithme
  • Probabilités
  • Suites.
  • Graphes probabilistes.
  • Fonction exponentielle.

exercice 1 : commun à tous les élèves

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte.
Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

On considère la fonction f définie et deux fois dérivable sur l'intervalle 0+ par fx=2lnx+12x.
Sa représentation graphique est la courbe 𝒞f donnée ci-dessous dans un repère d'origine O.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. La dérivée f de la fonction f est :

    1. positive ou nulle sur l'intervalle 1+ ;

    2. négative ou nulle sur l'intervalle 00,5 ;

    3. change de signe sur l'intervalle 0,51.

    4. négative ou nulle sur l'intervalle e+.

  2. La tangente à la courbe 𝒞f au point A d'abscisse 1 a pour équation :

    a.   y=x2

    b.   y=x

    c.   y=x+12

    d.   y=x2+12

  3. La dérivée seconde de la fonction f est définie pour tout réel x strictement positif par fx=2lnx-2x3.
    La fonction dérivée f est :

    1. croissante sur l'intervalle 0e ;

    2. décroissante sur l'intervalle e+ ;

    3. croissante sur l'intervalle 0+.

    4. croissante sur l'intervalle e+ ;

  4. On admet que la fonction F définie par Fx=lnx2+lnx2 est une primitive de la fonction f sur l'intervalle 0+.

    1. Sur l'intervalle e-1e, f est une fonction densité de probabilité.

    2. Sur l'intervalle 1e, f est une fonction densité de probabilité.

    3. La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle e-2e2 est égale à 2e4.

    4. e-21fxdx=1.


exercice 2 : commun à tous les élèves

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, arrondis à 0,001 près.

partie a

D'après une étude sur l'emploi, en France on a pu établir que :

On interroge au hasard une personne en emploi et on considère les évènements suivants :

  1. Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

    1. Calculer la probabilité que cette personne soit une femme et qu'elle occupe un emploi non salarié.

    2. Montrer que la probabilité arrondie au millième près de l'évènement : « la personne occupe un emploi non salarié » est égale à 0,117.

  2. La personne interrogée occupe un emploi non salarié. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

partie b

Selon la même étude, en France, 21,3 % des femmes actives de 15 à 24 ans sont au chômage.

À l'occasion de son TPE, un lycéen a interrogé 100 femmes actives de 15 à 24 ans de sa commune. Il a constaté que parmi les femmes interrogées 18 sont au chômage.
Ce lycéen peut-il considérer que dans sa commune le taux de chômage des femmes actives de 15 à 24 ans est inférieur à 21,3 % ?

partie c

Pour certaines missions à caractère temporaire, une grosse entreprise emploie des salariés intérimaires.
Soit X la variable aléatoire associée au nombre de salariés intérimaires employés par l'entreprise un mois donné.
On admet que X peut être modélisé par la loi normale d'espérance μ=26 et d'écart-type σ=5.

  1. Calculer la probabilité P18X22.

  2. Calculer la probabilité que sur un mois, le nombre d'employés intérimaires soit inférieur ou égal à 20.


exercice 3 : ES obligatoire et L spécialité

On considère la suite un définie par u0=50 et pour tout entier naturel n, un+1=0,84un+24.

  1. Calculer u2.

  2. Pour tout entier naturel n, on pose : vn=un-150.

    1. Démontrer que la suite vn est géométrique de raison 0,84. On précisera la valeur de v0.

    2. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=150-100×0,84n.

  3. Étudier le sens de variation de la suite un.

  4. Déterminer la limite de la suite un.

    1. Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il détermine le plus petit entier naturel n tel que un145.

      U50
      N0

      Tant que
      U
      NN+1
      Fin Tant que

    2. Calculer la valeur de la variable N obtenue à la fin de l'exécution de l'algorithme en résolvant l'inéquation un145.


exercice 3 : ES spécialité

partie a

Le graphe pondéré ci-dessous représente les différents terrains cultivables A, B, C, D, E, F, G et H d'une coopérative agricole céréalière.
Le poids de chaque arête représente la distance, en mètres, entre deux zones cultivables reliées par un chemin.

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Est-il possible de trouver un circuit qui passe par chaque chemin une et une seule fois ?

  2. À l'aide d'un algorithme, déterminer le chemin le plus court qui permet de relier la zone A à la zone G. Préciser la distance, en mètres, de ce chemin.

partie b

Afin de permettre la reconstitution de la fertilité du sol, il a été décidé de planter de la moutarde sur une partie des sols ensemencés avec des céréales. Ces terres sont dites de jachère.

D'une année sur l'autre :

Pour tout entier naturel n, on note :

La matrice ligne Pn=cnjn traduit l'état probabiliste la n-ième année après la décision de laisser en jachère une partie des sols ensemencés avec des céréales.

Au moment de la décision, tous les champs étaient ensemencés avec des céréales. On a donc P0=10.

  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets C et J où le sommet C représente l'état « le champ est ensemencé avec des céréales » et J l'état « champ est laissé en jachère ».

  2. Déterminer la matrice de transition M associée à ce graphe en respectant l'ordre CJ des sommets.

  3. Calculer l'état probabiliste P2 et interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.

  4. Soit la matrice ligne P=xy associée à l'état stable du graphe probabiliste.
    Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

  5. Montrer que pour tout entier naturel n, on a : cn+1=0,7cn+0,24.

  6. Pour tout entier naturel n, on pose vn=cn-0,8.

    1. Démontrer que la suite vn est géométrique de raison 0,7. On précisera la valeur de v0.

    2. En déduire que, pour tout entier naturel n, cn=0,8+0,2×0,7n.

  7. Résoudre l'inéquation cn0,81 et interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.


exercice 4 : commun à tous les élèves

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 010 par :fx=4x+8e-0,2x-7 On note 𝒞f la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle 010.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. On admet que la courbe 𝒞f admet le point B d'abscisse 8 comme seul point d'inflexion. À l'aide du graphique :

    1. déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est concave ;

    2. donner le tableau des variations de la dérivée f de la fonction f.

  2. Justifier que pour tout nombre réel x de l'intervalle 010 on a fx=-0,8x+2,4e-0,2x.

    1. Étudier le signe de fx sur l'intervalle 010.

    2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur cet intervalle.
      On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée à 0,001 près.

  3. Montrer que l'équation fx=0 admet une unique solution α. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 0,001 près de α.

  4. Donner une équation de la tangente T à la courbe 𝒞f au point A d'abscisse 0.

  5. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu l'expression d'une primitive G de la fonction g :

     1 gx:=a*x+b*exp-0,2*x
    gx=ax+be-0,2x
     2 Gx:= Primitive gxx
    Gx=-5ax-25a-5be-0,2x

    Justifier que la fonction F définie par Fx=-20x-140e-0,2x-7x est une primitive de la fonction f sur l'intervalle 010.

  6. Calculer la valeur exacte de l'aire 𝒜, en unité d'aire, du domaine hachuré délimité par la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=5.



Télécharger le sujet :

  LaTeX      |      Pdf    


Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.