contrôle du 20 octobre 2017

exercice 1

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative ${𝒞}_f$ d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.

On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f et $f″$ la dérivée seconde de la fonction f.

1. La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point $F\left(1;2\right)$ passe par le point de coordonnées $\left(0;-2\right)$. Déterminer $f\prime \left(1\right)$.

2. La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point D a pour équation $y=-2x-1$.

   1. Tracer la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point D.

   2. Déterminer $f\prime \left(-1\right)$.

3. Déterminer $f\prime \left(-5\right)$ et $f″\left(-5\right)$.

4. Déterminer dans chacun des cas, lequel des trois symboles ⩽, = ou ⩾ est approprié :

   $f\prime \left(-6\right)\cdots 0$

   $f\prime \left(-7\right)\cdots f\prime \left(-2\right)$

   $f″\left(-7\right)\cdots f″\left(0\right)$

   $f″\left(1\right)\cdots 0$

5. Une des quatre courbes ${𝒞}_1$, ${𝒞}_2$, ${𝒞}_3$ et ${𝒞}_4$ ci-dessous est la courbe représentative de la dérivée $f\prime$ et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde $f″$.
   Déterminer la courbe qui représente la dérivée $f\prime$ et celle qui représente la dérivée seconde $f″$.

   Courbe ${𝒞}_1$	Courbe ${𝒞}_2$
   Courbe ${𝒞}_3$	Courbe ${𝒞}_4$

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exercice 2

On considère la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-3x^2+8x-3$ et on note ${𝒞}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

La fonction f est deux fois dérivable sur $ℝ$, on note $f\prime$ sa fonction dérivée et $f″$ sa fonction dérivée seconde.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

4. 1. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique α.

   2. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à ${10}^{-2}$ près de la solution α.

5. Calculer $f″\left(x\right)$.

6. 1. Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction f est convexe ou concave.

   2. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ? Si oui, calculer ses coordonnées.

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