contrôle du 21 décembre 2017

exercice 1

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

1. En France, le nombre de femmes actives âgées de 50 à 64 ans a fortement augmenté depuis 2005, il est passé de 3 millions en 2006 à 4,1 millions en 2016.

   Affirmation 1 :

   Entre 2006 et 2016, le nombre de femmes actives âgées de 50 à 64 ans a augmenté d'environ 3,2 % chaque année.

2. Soient $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=100$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=81-\mathrm{1,025}\times u_n$ et $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel n par $v_n=40-u_n$.

   Affirmation 2 :

   $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{1,025}$ et de premier terme $v_0=-60$.

   Affirmation 3 :

   Pour tout entier naturel n, $u_n=40+60\times {\left(-\mathrm{1,025}\right)}^n$.

3. On donne ci-dessous la courbe représentative 𝒞 de la dérivée $f\prime$ d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur ℝ.

   Affirmation 4 :

   Sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$, la fonction f est décroissante.

   Affirmation 5 :

   Sur l'intervalle $\left[-1;3\right]$, la fonction f est convexe.

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exercice 2

Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième. Les parties A et B sont indépendantes.

D'après une enquête sur l'emploi en France :

• 52 % des personnes qui exercent un emploi sont des hommes ;
• 15 % des hommes qui exercent un emploi ne sont pas salariés ;
• 91,6 % des femmes qui exercent un emploi sont salariées.

partie a

On interroge au hasard une personne ayant un emploi et on note :

• H : l'évènement « la personne est un homme » ;
• F : l'évènement « la personne est une femme » ;
• S : l'évènement « la personne exerce un emploi salarié ».

1. Calculer les probabilités $p\left(F\right)$, $p_H\left(S\right)$ et $p_F\left(\overline{S}\right)$.

2. Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

3. Calculer $p\left(F\cap S\right)$. Interpréter le résultat.

4. Calculer la probabilité qu'une personne exerce un emploi salarié.

5. La personne interrogée exerce un emploi salarié. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ?

partie b

Selon cette étude, 30 % des femmes qui ont un emploi, travaillent à temps partiel.
On choisit au hasard 40 femmes qui ont un emploi. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de femmes qui travaillent à temps partiel.
La population de femmes qui exercent un emploi est suffisamment importante pour que l'on puisse considérer que X suit une loi binomiale.

1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

2. Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter le résultat.

3. Déterminer la probabilité que dans ce groupe il y a exactement 12 femmes qui travaillent à temps partiel.

4. On a calculé ci-dessous, les valeurs des probabilités $P\left(X⩽k\right)$, pour k allant de 5 à 19.

   k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$
   5	0,008 6	8	0,111 0	11	0,440 6	14	0,807 4	17	0,968 0
   6	0,023 8	9	0,195 9	12	0,577 2	15	0,884 9	18	0,985 2
   7	0,0553	10	0,308 7	13	0,703 2	16	0,936 7	19	0,993 7

   1. Déterminer la probabilité que dans ce groupe il y ait au moins 12 femmes qui travaillent à temps partiel.

   2. Sachant que dans ce groupe, il y a moins de 15 actifs, quelle est la probabilité qu'il y ait plus de 8 actifs ?

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exercice 3

partie a

Soit f une fonction définie sur l'intervalle $\left[0;8\right]$ par $f\left(x\right)=\left({\displaystyle \frac{3}{4}}x-6\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x-2}+5$.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable. On note $f\prime$ sa dérivée et $f″$ sa dérivée seconde.
La courbe représentative ${𝒞}_f$ de la fonction f est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.

1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;8\right]$ on a : $f\prime \left(x\right)=\left({\displaystyle \frac{3}{8}}x-{\displaystyle \frac{9}{4}}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x-2}$.

2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;8\right]$.

   2. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur ce même intervalle.

3. 1. Déterminer une équation de la tangente 𝒟 à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 4.

   2. Tracer la droite 𝒟 dans le repère précédent.

   3. En déduire graphiquement la valeur de $f″\left(4\right)$.

4. Montrer que dans l'intervalle $\left[6;8\right]$, l'équation $f\left(x\right)=2$ admet une deuxième solution α.

partie b

Une entreprise fabrique un certain type d'article. Sa capacité de production est limitée à 800 articles par jour.
Après avoir fait une étude, le directeur constate que si l'entreprise produit chaque jour x centaines d'articles (où x est un nombre réel de l'intervalle $\left[0;8\right]$), alors le coût moyen de production d'un article, en centaines d'euros, est donné par la fonction f définie dans la partie A.

1. Si le prix de vente d'un article est de 92 euros, l'entreprise fait-elle un bénéfice ?

2. Déterminer l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour que le coût moyen de production soit inférieur ou égal à 200 euros.

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