contrôles en terminale ES-L

contrôle du 21 décembre 2017

thèmes abordés

  • Probabilités
  • Fonction exponentielle

exercice 1

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

  1. En France, le nombre de femmes actives âgées de 50 à 64 ans a fortement augmenté depuis 2005, il est passé de 3 millions en 2006 à 4,1 millions en 2016.

    Affirmation 1 :

    Entre 2006 et 2016, le nombre de femmes actives âgées de 50 à 64 ans a augmenté d'environ 3,2 % chaque année.

  2. Soient un la suite définie par u0=100 et pour tout entier naturel n, un+1=81-1,025×un et vn la suite définie pour tout entier naturel n par vn=40-un.

    Affirmation 2 :

    vn est une suite géométrique de raison q=1,025 et de premier terme v0=-60.

    Affirmation 3 :

    Pour tout entier naturel n, un=40+60×-1,025n.

  3. On donne ci-dessous la courbe représentative 𝒞 de la dérivée f d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur .

    Courbe représentative de la dérivée f' : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Affirmation 4 :

    Sur l'intervalle --1, la fonction f est décroissante.

    Affirmation 5 :

    Sur l'intervalle -13, la fonction f est convexe.


exercice 2

Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième. Les parties A et B sont indépendantes.

D'après une enquête sur l'emploi en France :

partie a

On interroge au hasard une personne ayant un emploi et on note :

  1. Calculer les probabilités pF, pHS et pFS¯.

  2. Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

    Arbre de probabilités : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Calculer pFS. Interpréter le résultat.

  4. Calculer la probabilité qu'une personne exerce un emploi salarié.

  5. La personne interrogée exerce un emploi salarié. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ?

partie b

Selon cette étude, 30 % des femmes qui ont un emploi, travaillent à temps partiel.
On choisit au hasard 40 femmes qui ont un emploi. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de femmes qui travaillent à temps partiel.
La population de femmes qui exercent un emploi est suffisamment importante pour que l'on puisse considérer que X suit une loi binomiale.

  1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

  2. Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter le résultat.

  3. Déterminer la probabilité que dans ce groupe il y a exactement 12 femmes qui travaillent à temps partiel.

  4. On a calculé ci-dessous, les valeurs des probabilités PXk, pour k allant de 5 à 19.

    kPXkkPXkkPXkkPXkkPXk
    50,008 680,111 0110,440 6140,807 4170,968 0
    60,023 890,195 9120,577 2150,884 9180,985 2
    70,0553100,308 7130,703 2160,936 7190,993 7
    1. Déterminer la probabilité que dans ce groupe il y ait au moins 12 femmes qui travaillent à temps partiel.

    2. Sachant que dans ce groupe, il y a moins de 15 actifs, quelle est la probabilité qu'il y ait plus de 8 actifs ?


exercice 3

partie a

Soit f une fonction définie sur l'intervalle 08 par fx=34x-6e0,5x-2+5.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable. On note f sa dérivée et f sa dérivée seconde.
La courbe représentative 𝒞f de la fonction f est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle 08 on a : fx=38x-94e0,5x-2.

    1. Étudier le signe de fx sur l'intervalle 08.

    2. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur ce même intervalle.

    1. Déterminer une équation de la tangente 𝒟 à la courbe 𝒞f au point A d'abscisse 4.

    2. Tracer la droite 𝒟 dans le repère précédent.

    3. En déduire graphiquement la valeur de f4.

  2. Montrer que dans l'intervalle 68, l'équation fx=2 admet une deuxième solution α.

partie b

Une entreprise fabrique un certain type d'article. Sa capacité de production est limitée à 800 articles par jour.
Après avoir fait une étude, le directeur constate que si l'entreprise produit chaque jour x centaines d'articles (où x est un nombre réel de l'intervalle 08), alors le coût moyen de production d'un article, en centaines d'euros, est donné par la fonction f définie dans la partie A.

  1. Si le prix de vente d'un article est de 92 euros, l'entreprise fait-elle un bénéfice ?

  2. Déterminer l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour que le coût moyen de production soit inférieur ou égal à 200 euros.



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