Soit f une fonction définie sur l'intervalle par .
On admet que la fonction f est deux fois dérivable. On note sa dérivée et sa dérivée seconde.
Calculer .
Pour tout réel x de l'intervalle :
La dérivée de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle par .
Montrer que l'équation admet pour unique solution le nombre .
Sur l'intervalle :
Ainsi, sur l'intervalle , l'équation admet pour unique solution le nombre .
Étudier le signe de sur l'intervalle .
Sur l'intervalle :
D'où le tableau du signe de :
x | 0 | 6 | |||
− | + |
En déduire le tableau complet des variations de la fonction f sur l'intervalle . On précisera les valeurs exactes de , et .
On a : ; et
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
x | 0 | 6 | |||
− | + | ||||
2 |
Montrer que dans l'intervalle , l'équation admet une unique solution α.
Sur l'intervalle on a donc l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur l'intervalle on a et .
Ainsi, sur l'intervalle , la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle . l'équation admet une unique solution .
Sur l'intervalle , l'équation admet une solution unique α.
À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à près de la solution α.
À l'aide de la calculatrice, on trouve .
Déterminer une équation de la tangente 𝒟 à la courbe représentative de la fonction f au point A d'abscisse 2.
Une équation de la tangente 𝒟 à la courbe au point A d'abscisse 2 est :
Or et d'où une équation de la tangente 𝒟 :
La tangente à la courbe au point A d'abscisse 2 a pour équation .
Quelle est la position relative de la courbe par rapport à sa tangente 𝒟 ?
Étudions la convexité de la fonction f :
La dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle par . Donc sur l'intervalle on a .
La fonction f est convexe par conséquent, la courbe est au dessus de sa tangente 𝒟.
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