contrôles en terminale ES

contrôle du 23 janvier 2018

Corrigé de l'exercice 3

Soit f une fonction définie sur l'intervalle [0;6] par f(x)=2e0,5x-e2x.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable. On note f sa dérivée et f sa dérivée seconde.

  1. Calculer f(x).

    Pour tout réel x de l'intervalle [0;6] :f(x)=2×0,5e0,5x-e2=e0,5x-e2

    La dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur l'intervalle [0;6] par f(x)=e0,5x-e2.


    1. Montrer que l'équation f(x)=0 admet pour unique solution le nombre a=2(1-ln2).

      Sur l'intervalle [0;6] : f(x)=0e0,5x-e2=0e0,5x=e2ln(e0,5x)=ln(e2)0,5x=ln(e)-ln(2)x=2(1-ln2)

      Ainsi, sur l'intervalle [0;6], l'équation f(x)=0 admet pour unique solution le nombre a=2(1-ln2).


    2. Étudier le signe de f(x) sur l'intervalle [0;6].

      Sur l'intervalle [0;6] : f(x)<0e0,5x-e2<0ln(e0,5x)<ln(e2)x<2(1-ln2)

      D'où le tableau du signe de f(x) :

      x02-2ln26
      f(x)0||+
    3. En déduire le tableau complet des variations de la fonction f sur l'intervalle [0;6]. On précisera les valeurs exactes de f(0), f(a) et f(6).

      On a : f(0)=2 ; f(6)=2e3-3e et f(2(1-ln2))=2e1-ln2-e(1-ln2)=2eeln2-e+eln2=eln2

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      x02-2ln26
      f(x)0||+
      f(x)

      2

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      eln2

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      2e3-3e

    1. Montrer que dans l'intervalle [0;6], l'équation f(x)=12 admet une unique solution α.

      Sur l'intervalle [0;6], l'équation f(x)=12 admet une solution unique α.


    2. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 10-2 près de la solution α.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve α4,39.


  2. Déterminer une équation de la tangente 𝒟 à la courbe 𝒞f représentative de la fonction f au point A d'abscisse 2.

    Une équation de la tangente 𝒟 à la courbe 𝒞f au point A d'abscisse 2 est :y=f(2)×(x-2)+f(2)

    Or f(2)=2e-e=e et f(2)=e-e2=e2 d'où une équation de la tangente 𝒟 :y=e2×(x-2)+ey=e2x

    La tangente à la courbe 𝒞f au point A d'abscisse 2 a pour équation y=e2x.


  3. Quelle est la position relative de la courbe 𝒞f par rapport à sa tangente 𝒟 ?

    Étudions la convexité de la fonction f :

    La dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle [0;6] par f(x)=0,5e0,5x. Donc sur l'intervalle [0;6] on a f(x)>0.

    La fonction f est convexe par conséquent, la courbe 𝒞f est au dessus de sa tangente 𝒟.



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