contrôle commun № 8 du 12 Avril 2018

exercice 1 : commun à tous les élèves

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.
On sait que $f\left(1\right)=-3$ et que le signe de la fonction f est donné par le tableau suivant :

x	0				2		$+\infty$
Signe de $f\left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

1. F est la primitive de la fonction fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ telle que $F\left(1\right)=1$.

   1. Donner le tableau de variations de la fonction F.

   2. On note 𝒞 la courbe représentative de la fonction F.
      Donner une équation de la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 1.

2. La fonction f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$.
   Étudier la convexité de la fonction F.

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exercice 2 : commun à tous les élèves

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.
On note $f\prime$ la dérivée de la fonction fonction f et F une primitive de la fonction fonction f.

1. Déterminer graphiquement une valeur approchée à l'unité de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

2. Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ et une autre celle de la fonction F.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$
   Courbe $C_3$	Courbe $C_4$

   1. Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F.

   2. En déduire la valeur de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-2}^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   3. La courbe représentative de la fonction F admet-elle des points d'inflexion ?

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exercice 3 : commun à tous les élèves

Calculer les intégrales suivantes :

1. $A={\displaystyle {\int }_{-1}^1\left(x^2-3x+1\right)\mathrm{d}x}$.

2. $B={\displaystyle {\int }_0^{2\ln 2}\left(x+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\right)\mathrm{d}x}$.

3. $C={\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}\left(2-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\mathrm{d}x}$.

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exercice 4 : ES obligatoire et L spécialité

D'après sujet bac Nouvelle Calédonnie (février 2018)

On étudie les abonnements à un grand quotidien de 2011 à 2015.
Le tableau suivant indique, pour chaque année de 2011 à 2015, le nombre d'abonnés.

Année	2011	2012	2013	2014	2015
Nombre d'abonnés	620 214	610 156	575 038	578 282	555 239
Taux d'évolution annuel		$-\mathrm{1,62}\%$	$-\mathrm{5,76}\%$	0,56 %	$-\mathrm{3,98}\%$
Taux d'évolution par rapport à l'année 2011		$-\mathrm{1,62}\%$	$-\mathrm{7,28}\%$	$-\mathrm{6,76}\%$	$-\mathrm{10,48}\%$

partie a

1. Retrouver par le calcul, le taux d'évolution annuel entre 2012 et 2013.

2. Le taux d'évolution moyen annuel entre 2011 et 2015 est environ de $-\mathrm{2,73}\%$. Justifier.

partie b

Afin d'étudier cette évolution, on suppose qu'à l'avenir, tous les ans, 10 % des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement à ce quotidien mais que l'on compte 52 milliers de nouveaux abonnés.
En 2011, le nombre d'abonnés est égal, après arrondi, à 620 milliers.

On s'intéresse, pour tout entier naturel n, au nombre d'abonnés, en milliers, pour l'année $\left(2011+n\right)$.
On note $u_n$ le nombre d'abonnés en milliers pour l'année $\left(2011+n\right)$. On fixe donc $u_0=620$.

1. Déterminer le nombre d'abonnés en 2012 suivant ce modèle.

2. Justifier que pour tout entier naturel n : $u_{n+1}=\mathrm{0,9}{u}_n+52$.

3. On définit la suite $\left(v_n\right)$, pour tout entier naturel n, par $v_n=u_n-520$.

   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $v_0$.

   2. Exprimer $v_n$ en fonction de n.

   3. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_n=100\times {\mathrm{0,9}}^n+520$.

4. Le quotidien est considéré en difficulté financière lorsque le nombre d'abonnés est inférieur à 540 milliers.

   1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin de déterminer l'année à partir de laquelle le quotidien sera en difficulté financière.

      $U\leftarrow 620$
      $N\leftarrow 0$

      Tant que …
      $U\leftarrow \dots$
      $N\leftarrow \dots$
      Fin Tant que

   2. Résoudre l'inéquation $u_n⩽540$.

   3. Déterminer à partir de quelle année le quotidien sera en difficulté financière. Indiquer la démarche.

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exercice 4 : ES spécialité

Une municipalité propose aux personnes qui effectuent de nombreux déplacements deux types d'abonnement mensuel :

• un abonnement « V-libre » à un service de location de vélos ;
• un abonnement « T-libre » aux transports en commun.

Une étude récente a montré que le nombre global d'abonnements reste constant dans le temps et que le nombre de personnes qui, un mois donné, acquièrent les deux abonnements est négligeable (on considère qu'un abonné ne souscrit qu'à un seul type d'abonnement « T-libre » ou « V-libre »).

On a constaté également que, chaque mois, la répartition des abonnements évolue de la manière suivante :

• 22 % des abonnements « T-libre » sont remplacés par des abonnements « V-libre » ;
• 66 % des abonnements « V-libre » sont remplacés par des abonnements « T-libre ».

En janvier 2018, en raison d'un réaménagement des bornes d'emplacement des vélos, seulement 5 % des abonnements ont été souscrits au service « V-libre ».

Dans la suite de l'exercice, on note :

• $t_n$ la probabilité qu'un abonnement soit souscrit au service « T-libre », le n-ième mois après le mois de janvier 2018.
• $v_n$ la probabilité qu'un abonnement soit souscrit au service « V-libre », le n-ième mois après le mois de janvier 2018.
• $P_n=\left(\begin{array}{cc}{t}_n& v_n\end{array}\right)$ l'état probabiliste correspondant aux abonnements à ces deux services le n-ième mois après le mois de janvier 2018. On a donc $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,95}& \mathrm{0,05}\end{array}\right)$.

1. 1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets T et V où le sommet T représente l'état « abonné au service T-libre » et V l'état « abonné au service V-libre ».

   2. Déterminer la matrice de transition M associée à ce graphe en respectant l'ordre $\left(T,V\right)$ des sommets.

2. En février 2018, quelle a été la part des abonnements « V-libre » dans l'ensemble des abonnements ?

3. Quelle est la part des abonnements « T-libre » dans l'ensemble des abonnements en avril 2018 ?
   Donner le résultat en pourcentage arrondi à 0,1 %.

4. Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

5. 1. Montrer que pour tout entier naturel n, on a : $v_{n+1}=\mathrm{0,12}{v}_n+\mathrm{0,22}$.

   2. Quelle est la limite de la suite $\left(v_n\right)$ ?

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exercice 5 : commun à tous les élèves

Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)}{x}}+x$.

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Montrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-2\ln \left(x\right)+2}{x^2}}$.

2. La dérivée seconde de la fonction f est la fonction $f″$ définie pour tout réel x strictement positif par $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{4\ln \left(x\right)-6}{x^3}}$.

   1. Étudier la convexité de la fonction f.

   2. En déduire le tableau des variations de la dérivée $f\prime$.

3. Étudier les variations de la fonction f.

4. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique α appartenant à l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{1}{2}};\mathrm{e}\right]$.
   Donner la valeur arrondie à ${10}^{-3}$ près de la solution α.

5. 1. Montrer que la fonction G définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $G\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^2$ est une primitive de la fonction g définie pour tout réel x strictement positif par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)}{x}}$.

   2. En déduire une primitive F de la fonction f sur $\left]0;+\infty \right[$.

6. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$.

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