contrôles en terminale ES

contrôle commun № 8 du 12 Avril 2018

thèmes abordés

  • Intégration.
  • Suites.
  • Graphes probabilistes.
  • Fonction logarithme.

exercice 1 : commun à tous les élèves

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle 0+.
On sait que f1=-3 et que le signe de la fonction f est donné par le tableau suivant :

x02+
Signe de fx 0||+
  1. F est la primitive de la fonction fonction f sur l'intervalle 0+ telle que F1=1.

    1. Donner le tableau de variations de la fonction F.

    2. On note 𝒞 la courbe représentative de la fonction F.
      Donner une équation de la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 1.

  2. La fonction f est définie sur l'intervalle 0+ par fx=1-4x2.
    Étudier la convexité de la fonction F.


exercice 2 : commun à tous les élèves

La courbe Cf tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur .
On note f la dérivée de la fonction fonction f et F une primitive de la fonction fonction f.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer graphiquement une valeur approchée à l'unité de l'intégrale -21fxdx.

  2. Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f et une autre celle de la fonction F.

    Courbe C1Courbe C2
    Courbe C1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe C2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Courbe C3Courbe C4
    Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe C4 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Déterminer la courbe associée à la fonction f et celle qui est associée à la fonction F.

    2. En déduire la valeur de l'intégrale -25fxdx.

    3. La courbe représentative de la fonction F admet-elle des points d'inflexion ?


exercice 3 : commun à tous les élèves

Calculer les intégrales suivantes :

  1. A=-11x2-3x+1dx.

  2. B=02ln2x+e0,5xdx.

  3. C=1e2-1xdx.


exercice 4 : ES obligatoire et L spécialité

D'après sujet bac Nouvelle Calédonnie (février 2018)

On étudie les abonnements à un grand quotidien de 2011 à 2015.
Le tableau suivant indique, pour chaque année de 2011 à 2015, le nombre d'abonnés.

Année20112012201320142015
Nombre d'abonnés620 214610 156575 038578 282555 239
Taux d'évolution annuel-1,62%-5,76%0,56 %-3,98%
Taux d'évolution par rapport à l'année 2011-1,62%-7,28%-6,76%-10,48%

partie a

  1. Retrouver par le calcul, le taux d'évolution annuel entre 2012 et 2013.

  2. Le taux d'évolution moyen annuel entre 2011 et 2015 est environ de -2,73%. Justifier.

partie b

Afin d'étudier cette évolution, on suppose qu'à l'avenir, tous les ans, 10 % des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement à ce quotidien mais que l'on compte 52 milliers de nouveaux abonnés.
En 2011, le nombre d'abonnés est égal, après arrondi, à 620 milliers.

On s'intéresse, pour tout entier naturel n, au nombre d'abonnés, en milliers, pour l'année 2011+n.
On note un le nombre d'abonnés en milliers pour l'année 2011+n. On fixe donc u0=620.

  1. Déterminer le nombre d'abonnés en 2012 suivant ce modèle.

  2. Justifier que pour tout entier naturel n : un+1=0,9un+52.

  3. On définit la suite vn, pour tout entier naturel n, par vn=un-520.

    1. Démontrer que la suite vn est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme v0.

    2. Exprimer vn en fonction de n.

    3. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=100×0,9n+520.

  4. Le quotidien est considéré en difficulté financière lorsque le nombre d'abonnés est inférieur à 540 milliers.

    1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin de déterminer l'année à partir de laquelle le quotidien sera en difficulté financière.

      U620
      N0

      Tant que
      U
      N
      Fin Tant que

    2. Résoudre l'inéquation un540.

    3. Déterminer à partir de quelle année le quotidien sera en difficulté financière. Indiquer la démarche.


exercice 4 : ES spécialité

Une municipalité propose aux personnes qui effectuent de nombreux déplacements deux types d'abonnement mensuel :

Une étude récente a montré que le nombre global d'abonnements reste constant dans le temps et que le nombre de personnes qui, un mois donné, acquièrent les deux abonnements est négligeable (on considère qu'un abonné ne souscrit qu'à un seul type d'abonnement « T-libre » ou « V-libre »).

On a constaté également que, chaque mois, la répartition des abonnements évolue de la manière suivante :

En janvier 2018, en raison d'un réaménagement des bornes d'emplacement des vélos, seulement 5 % des abonnements ont été souscrits au service « V-libre ».

Dans la suite de l'exercice, on note :

    1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets T et V où le sommet T représente l'état « abonné au service T-libre » et V l'état « abonné au service V-libre ».

    2. Déterminer la matrice de transition M associée à ce graphe en respectant l'ordre TV des sommets.

  1. En février 2018, quelle a été la part des abonnements « V-libre » dans l'ensemble des abonnements ?

  2. Quelle est la part des abonnements « T-libre » dans l'ensemble des abonnements en avril 2018 ?
    Donner le résultat en pourcentage arrondi à 0,1 %.

  3. Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

    1. Montrer que pour tout entier naturel n, on a : vn+1=0,12vn+0,22.

    2. Quelle est la limite de la suite vn ?


exercice 5 : commun à tous les élèves

Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par fx=2lnxx+x.

  1. On note f la dérivée de la fonction f. Montrer que fx=x2-2lnx+2x2.

  2. La dérivée seconde de la fonction f est la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par fx=4lnx-6x3.

    1. Étudier la convexité de la fonction f.

    2. En déduire le tableau des variations de la dérivée f.

  3. Étudier les variations de la fonction f.

  4. Montrer que l'équation fx=0 admet une solution unique α appartenant à l'intervalle 12e.
    Donner la valeur arrondie à 10-3 près de la solution α.

    1. Montrer que la fonction G définie sur l'intervalle 0+ par Gx=lnx2 est une primitive de la fonction g définie pour tout réel x strictement positif par gx=2lnxx.

    2. En déduire une primitive F de la fonction f sur 0+.

  5. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle 1e.



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