contrôle du 20 octobre 2012

Corrigé de l'exercice 2

Écrire plus simplement les expressions suivantes :

1. $A=\sin \left(x-\pi \right)+\sin \left(5\pi -x\right)+\sin \left(x-3\pi \right)$.

   $$\begin{array}{ccc}A& =& \sin \left(x-\pi \right)+\sin \left(5\pi -x\right)+\sin \left(x-3\pi \right)\hfill \\ & =& \sin \left(x-\pi \right)+\sin \left(\pi -x\right)+\sin \left(x-\pi \right)\hfill \\ & =& -\sin x+\sin x-\sin x\hfill \\ & =& -\sin x\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $A=-\sin x$.

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2. $B=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x\right)+\cos \left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+x\right)+\cos \left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$.

   $$\begin{array}{ccc}B& =& \cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x\right)+\cos \left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+x\right)+\cos \left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\hfill \\ & =& \sin x+\cos \left(2\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+x\right)+\sin x\hfill \\ & =& 2\sin x+\cos \left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\hfill \\ & =& 3\sin x\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $B=3\sin x$.

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