contrôle du 20 octobre 2012

Corrigé de l'exercice 5

Résoudre les équations suivantes dans l'intervalle donné.

1. $\sin x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ et $x\in ]-\pi ;\pi ]$.

   Sur l'intervalle $]-\pi ;\pi ]$ :$$\begin{array}{ccc}\sin x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& \iff & \{\begin{array}{c}\sin x=\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)\\ \sin x=\sin \left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)\end{array}\hfill \end{array}$$

   Donc $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ ou $x=-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$.

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2. $2{\cos }^{2}x-1=0$ et $x\in ]-\pi ;\pi ]$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccccccc}2{\cos }^{2}x-1=0& \iff & {\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & \{\begin{array}{c}\cos x=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ \cos x=-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ \cos x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\end{array}$$

   Sur l'intervalle $]-\pi ;\pi ]$ : $$\begin{array}{ccccccc}\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}& \iff & \{\begin{array}{c}\cos x=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\\ \cos x=\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\end{array}\hfill & \text{et}& \cos x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}& \iff & \{\begin{array}{c}\cos x=\cos \left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)\\ \cos x=\cos \left(-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)\end{array}\hfill \end{array}$$

   L'ensemble S des solutions de l'équation $2{\cos }^{2}x-1=0$ avec $x\in ]-\pi ;\pi ]$ est $S=\{-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}};-{\displaystyle \frac{\pi }{4}};{\displaystyle \frac{\pi }{4}};{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\}$.

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