contrôle du 20 octobre 2012

Corrigé de l'exercice 3

M est un point du cercle trigonométrique défini par $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})=\alpha$ avec $\alpha \in ]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$.

1. Placer sur le cercle trigonométrique :

   1. le point $M_1$ tel que $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{O{M}_1})={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\alpha$

   2. le point $M_2$ tel que $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{O{M}_2})=\pi -\alpha$

2. On donne $\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{10}}$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{10}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}$.

   1. Calculer la valeur exacte de $\cos \alpha$

      Pour tout réel x, ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, donc $$\begin{array}{ccc}{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{10}}\right)=1& \iff & {\cos }^2\alpha =1-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}\right)}^2\hfill \\ & \iff & {\cos }^2\alpha =1-\left({\displaystyle \frac{5-2\sqrt{5}+1}{16}}\right)\hfill \\ & \iff & {\cos }^2\alpha ={\displaystyle \frac{16-6+2\sqrt{5}}{16}}\hfill \\ & \iff & {\cos }^2\alpha ={\displaystyle \frac{10+2\sqrt{5}}{16}}\hfill \\ & \iff & {\cos }^2\alpha ={\displaystyle \frac{5+\sqrt{5}}{8}}\hfill \end{array}$$ Soit $\cos \alpha =-\sqrt{{\displaystyle \frac{5+\sqrt{5}}{8}}}$ ou $\cos \alpha =\sqrt{{\displaystyle \frac{5+\sqrt{5}}{8}}}$ . Or ${\displaystyle \frac{\pi }{10}}\in ]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, donc $\cos \alpha >0$.

      $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{10}}\right)=\sqrt{{\displaystyle \frac{5+\sqrt{5}}{8}}}$.

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   2. Donner les valeurs exactes de $\sin \left(-{\displaystyle \frac{9\pi }{10}}\right)$ et de $\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)$.
      (Aide : ${\displaystyle \frac{\pi }{10}}-\pi =-{\displaystyle \frac{9\pi }{10}}$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{10}}={\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$)

      $$\begin{array}{ccccccc}\sin \left(-{\displaystyle \frac{9\pi }{10}}\right)& =& \sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{10}}-\pi \right)\hfill & \text{et}& \cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)& =& \cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{10}}\right)\hfill \\ & =& -\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{10}}\right)\hfill & & & =& \sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{10}}\right)\hfill \\ & =& -{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}\hfill & & & =& {\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}\hfill \end{array}$$

      $\sin \left(-{\displaystyle \frac{9\pi }{10}}\right)={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{4}}$ et $\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}$

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