contrôle du 20 octobre 2012

Corrigé de l'exercice 7

1. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $x^2-{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$.

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $x^2-{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$ avec $a=1\text{, }b=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{ et }c=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-4\times 1\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)={\displaystyle \frac{5}{4}}\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}}{2}}={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{4}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}}{2}}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\left\{{\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{4}};{\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}\right\}$

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2. On donne $\cos \left({\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\right)={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{4}}$ et $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}$.
   Résoudre dans $ℝ$ l'équation ${\cos }^{2}x-{\displaystyle \frac{\cos x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$.

   Pour tout réel x, posons $\cos x=X$. D'après la question précédente, l'équation $x^2-{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$ admet deux solutions ${\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}$ et ${\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{4}}$.

   • Cherchons les solutions de l'équation $\cos x={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{4}}$ : $$\begin{array}{ccc}\cos x={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{4}}& \iff & \{\begin{array}{c}\cos x=\cos \left({\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\right)\\ \cos x=\cos \left(-{\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\right)\end{array}\hfill \end{array}$$

     Donc $x={\displaystyle \frac{3\pi }{5}}+2k\pi$ ou $x=-{\displaystyle \frac{3\pi }{5}}+2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

   • Cherchons les solutions de l'équation $\cos x={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}$ : $$\begin{array}{ccc}\cos x={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}& \iff & \{\begin{array}{c}\cos x=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)\\ \cos x=\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)\end{array}\hfill \end{array}$$

     Donc $x={\displaystyle \frac{\pi }{5}}+2k\pi$ ou $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{5}}+2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

   Les solutions de l'équation ${\cos }^{2}x-{\displaystyle \frac{\cos x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$ sont les réels $x=-{\displaystyle \frac{3\pi }{5}}+2k\pi$ ou $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{5}}+2k\pi$ ou $x={\displaystyle \frac{\pi }{5}}+2k\pi$ ou $x={\displaystyle \frac{3\pi }{5}}+2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

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