contrôle du 20 octobre 2012

Corrigé de l'exercice 6

1. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $2x^2-3x-2=0$.

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $2x^2-3x-2=0$ avec $a=2\text{, }b=-3\text{ et }c=-2$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-4\times 2\times \left(-2\right)=25\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{3-5}{2\times 2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{3+5}{2\times 2}}=2\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{1}{2}};2\right\}$

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2. En déduire les solutions de l'équation $2{\cos }^{2}x-3\cos x-2=0$.

   Pour tout réel x, posons $\cos x=X$. D'après la question précédente, l'équation $2X^2-3X-2=0$ admet deux solutions $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et 2.

   • L'équation $\cos x=2$ n'a pas de solution.

   • Cherchons les solutions de l'équation $\cos x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $$\begin{array}{ccc}\cos x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & \{\begin{array}{c}\cos x=\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)\\ \cos x=\cos \left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)\end{array}\hfill \end{array}$$

     Donc $x={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2k\pi$ ou $x=-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

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