1. La fonction $F:x⟼\ln \left(2x+4\right)$ est une primitive sur $\left[0;+\infty \right[$ de la fonction f définie par :

Dire que F est une primitive de la fonction f sur $\left[0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel $x⩾0$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

Soit u la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $u\left(x\right)=2x+4$ . Sur cet intervalle, la fonction u est dérivable, strictement positive et $u\prime \left(x\right)=2$.

Par conséquent, la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=\ln \left(2x+4\right)$ est dérivable et $$F\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{2x+4}}={\displaystyle \frac{1}{x+2}}$$

2. L'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{1}3x{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x}$ est égale à :

Déterminons une primitive F de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=3x{\mathrm{e}}^{x^2}$

Soit u la fonction définie sur $ℝ$ par $u\left(x\right)=x^2$. La fonction u est dérivable et $u\prime \left(x\right)=2x$.

D'où $f={\displaystyle \frac{3}{2}}\times u\prime \times {\mathrm{e}}^u$ et une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}{\mathrm{e}}^{x^2}$

$$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_0^{1}3x{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{3}{2}}{\mathrm{e}}^{x^2}\right]}_0^1}\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{2}}\left({\mathrm{e}}^1-{\mathrm{e}}^0\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{2}}\left(\mathrm{e}-1\right)\end{array}$$

• $6\left(\mathrm{e}-1\right)$

• ${\displaystyle \frac{3}{2}}\left(\mathrm{e}-1\right)$

  ---

• ${\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{e}$

3. Soit f la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}-\ln x+1$. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$. La tangente à la courbe C au point d'abscisse 1 passe par le point de coordonnées 

Déterminons une équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1. Nous avons :

• $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}$ . D'où $f\prime \left(1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{1^2}}-{\displaystyle \frac{1}{1}}=-2$

• $f\left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{1}}-\ln 1+1=2$

Ainsi, une équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1 est :$$\begin{array}{ccc}y=-2\left(x-1\right)+2& \iff & y=-2x+4\end{array}$$

Les coordonnées $\left(2;0\right)$ vérifient l'équation de la tangente donc la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1 passe par le point de coordonnées $\left(2;0\right)$.

• $\left(2;0\right)$

  ---

• $\left(1;-1\right)$

• $\left(1;{\displaystyle \frac{3}{2}}-\ln 2\right)$

4. Soit f la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=2x+\ln \left({\displaystyle \frac{x+1}{2x}}\right)$. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$. La courbe C admet pour asymptote la droite d'équation :

$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x+1}{2x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $\underset{X\to {\displaystyle \frac{1}{2}}}{\lim }\ln X=-\ln 2$ alors, par composition $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln {\displaystyle \frac{x+1}{2x}}=-\ln 2$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }2x+\ln {\displaystyle \frac{x+1}{2x}}=+\infty$

D'autre part, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-\left(2x-\ln 2\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln {\displaystyle \frac{x+1}{2x}}+\ln 2=0$. Donc la courbe C admet pour asymptote la droite d'équation $y=2x-\ln 2$ au voisinage de $+\infty$.

• $y=0$

• $y=2x-\ln 2$

  ---

• $y=2x$