sujet : Antilles-Guyane

Énoncé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On donne ci-dessous la proportion, en pourcentage, du nombre d'enfants nés hors mariage en France métropolitaine.

Année $a_i$	1980	1985	1990	1995	2000	2003
Proportion $y_i$	11,4	19,6	30,1	37,6	42,6	45,2

On souhaite effectuer un ajustement de cette série statistique de la proportion en fonction de l'année.

1. 1. Construire le nuage de points de coordonnées $\left(a_i;y_i\right)$ dans le plan muni du repère orthogonal suivant :

      • sur l'axe des abscisses, on placera 1980 à l'origine et on prendra comme unité 0,5 cm ;
      • sur l'axe des ordonnées, on placera 10 à l'origine et on prendra comme unité 0,5 cm.

   2. Un ajustement affine semble-t-il adapté ?

2. On note a l'année et y la proportion, on pose $x=a-1950$ et $t=\ln x$.

   1. Compléter le tableau suivant :

      Année $a_i$	1980	1985	1990	1995	2000	2003
      $x_i=a_i-1950$
      $t_i=\ln x_i$
      $y_i$	11,4

      On donnera pour t des valeurs arrondies au millième.

   2. Exprimer y en fonction de t par une régression linéaire en utilisant la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième.

   3. En déduire la relation : $y=\mathrm{61,3}\ln x-197$.

   4. Quel pourcentage du nombre d'enfants nés hors mariage (arrondi à 1%), peut-on prévoir en 2010 en utilisant cet ajustement ?

   5. À partir de quelle année peut-on prévoir que la proportion du nombre d'enfants nés hors mariage sera-t-elle supérieure à 60 % ?

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