sujet : Antilles-Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. 1. Construire le nuage de points de coordonnées $\left(a_i;y_i\right)$ dans le plan muni du repère orthogonal suivant :

      • sur l'axe des abscisses, on placera 1980 à l'origine et on prendra comme unité 0,5 cm ;
      • sur l'axe des ordonnées, on placera 10 à l'origine et on prendra comme unité 0,5 cm.

   2. Un ajustement affine semble-t-il adapté ?

      Dans le cadre du programme de terminale ES, la forme "allongée" du nuage de points incite à penser qu'un ajustement affine semble convenir.

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      Toutefois, de 1990 à 2003, on constate une baisse de l'accroissement moyen annuel du pourcentage d'enfants nés hors mariage en France métropolitaine. On peut donc se poser la question de savoir si un ajustement à l'aide d'une courbe à déterminer, ne serait pas plus judicieux.

      Année $a_i$	1980	1985	1990	1995	2000	2003
      Proportion $y_i$	11,4	19,6	30,1	37,6	42,6	45,2
      Accroissement moyen annuel		${\displaystyle \frac{\mathrm{19,6}-\mathrm{11,4}}{1985-1980}}=\mathrm{1,64}$	${\displaystyle \frac{\mathrm{30,1}-\mathrm{19,6}}{1990-1985}}=\mathrm{2,1}$	${\displaystyle \frac{\mathrm{37,6}-\mathrm{30,1}}{1995-1990}}=\mathrm{1,5}$	${\displaystyle \frac{\mathrm{42,6}-\mathrm{37,6}}{2000-1995}}=1$	${\displaystyle \frac{\mathrm{45,2}-\mathrm{42,6}}{2003-2000}}\approx \mathrm{0,867}$

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2. On note a l'année et y la proportion, on pose $x=a-1950$ et $t=\ln x$.

   1. Compléter le tableau suivant : (On donnera pour t des valeurs arrondies au millième.)

      Année $a_i$	1980	1985	1990	1995	2000	2003
      $x_i=a_i-1950$	30	35	40	45	50	53
      $t_i=\ln x_i$	3,401	3,555	3,689	3,807	3,912	3,97
      $y_i$	11,4	19,6	30,1	37,6	42,6	45,2

   2. Exprimer y en fonction de t par une régression linéaire en utilisant la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième.

      Une équation de la droite de régression de y en t, par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $$y=\mathrm{61,3}t-197$$ (coefficients arrondis au dixième.)

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   3. En déduire la relation : $y=\mathrm{61,3}\ln x-197$.

      Pour $x⩾30$, nous avons $t=\ln x$ . D'où la relation :

      $y=\mathrm{61,3}\ln x-197$.

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   4. Quel pourcentage du nombre d'enfants nés hors mariage (arrondi à 1%), peut-on prévoir en 2010 en utilisant cet ajustement ?

      Le rang x de l'année 2010 est 60, d'où une estimation de la proportion, en pourcentage, du nombre d'enfants nés hors mariage en France métropolitaine à l'aide de cet ajustement :$$y=\mathrm{61,3}\times \ln 60-197\approx \mathrm{53,98}$$

      En utilisant cet ajustement, la proportion du nombre d'enfants nés hors mariage sera de 54% en 2010.

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   5. À partir de quelle année peut-on prévoir que la proportion du nombre d'enfants nés hors mariage sera-t-elle supérieure à 60 % ?

      On cherche le plus petit entier naturel x tel que : $$\begin{array}{lll}\mathrm{61,3}\ln x-197⩾60& \iff & \ln x⩾{\displaystyle \frac{60+197}{\mathrm{61,3}}}\\ & \iff & x⩾{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{257}{\mathrm{61,3}}}}\end{array}$$

   Or ${\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{257}{\mathrm{61,3}}}}\approx \mathrm{66,2}$ . D'où le plus petit entier naturel x tel que $\mathrm{61,3}\ln x-197⩾60$ est 67, qui correspond au rang de l'année 2017.

   En utilisant cet ajustement, la proportion du nombre d'enfants nés hors mariage sera supérieure à 60% en 2017.

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