Baccalauréat septembre 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Antilles-Guyane

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier la proposition qui vous semble exacte sur votre copie. Aucune justification n'est demandée.

Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

1. La fonction F:xln2x+4 est une primitive sur 0+ de la fonction f définie par :

  • fx=1x+4

  • fx=12x+4

  • fx=1x+2

2. L'intégrale 013xex2dx est égale à :

  • 6e-1

  • 32e-1

  • 32e

3. Soit f la fonction définie sur 0+ par fx=1x-lnx+1.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal Oıȷ.
La tangente à la courbe C au point d'abscisse 1 passe par le point de coordonnées 

  • 20

  • 1-1

  • 132-ln2

4. Soit f la fonction définie sur 0+ par fx=2x+lnx+12x.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal Oıȷ.
La courbe C admet pour asymptote la droite d'équation 

  • y=0

  • y=2x-ln2

  • y=2x


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On donne ci-dessous la proportion, en pourcentage, du nombre d'enfants nés hors mariage en France métropolitaine.

Année ai198019851990199520002003
Proportion yi11,419,630,137,642,645,2

On souhaite effectuer un ajustement de cette série statistique de la proportion en fonction de l'année.

    1. Construire le nuage de points de coordonnées aiyi ans le plan muni du repère orthogonal suivant :
      − sur l'axe des abscisses, on placera 1980 à l'origine et on prendra comme unité 0,5 cm,
      − sur l'axe des ordonnées, on placera 10 à l'origine et on prendra comme unité 0,5 cm.

    2. Un ajustement affine semble-t-il adapté ?

  1. On note a l'année et y la proportion, on pose x=a-1950 et t=lnx.

    1. Compléter le tableau suivant :

      Année ai198019851990199520002003
      xi=ai-1950
      ti=lnxi
      yi11,4

      On donnera pour t des valeurs arrondies au millième.

    2. Exprimer y en fonction de t par une régression linéaire en utilisant la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième.

    3. En déduire la relation : y=61,3lnx-197.

    4. Quel pourcentage du nombre d'enfants nés hors mariage (arrondi à 1%), peut-on prévoir en 2010 en utilisant cet ajustement ?

    5. À partir de quelle année peut-on prévoir que la proportion du nombre d'enfants nés hors mariage sera-t-elle supérieure à 60 % ?


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise désire construire dans son hall d'entrée un aquarium ayant la forme d'un pavé droit de hauteur 5 dm (décimètres). Ses deux autres dimensions, exprimées en dm, sont des entiers naturels x et y tels que x020 et y020.
La structure de cette construction est un bâti métallique correspondant aux 12 arêtes du pavé droit et nécessitant des réglettes d'aluminium dont le prix de revient est de 0,8 euro le dm.
Les quatre parois verticales et le fond de cet aquarium sont construits en verre.

partie a

On décide d'investir exactement 80 euros pour la construction du bâti métallique.

  1. Montrer que, pour cet investissement, les dimensions x et y sont liées par la contrainte x+y=20

    1. Déterminer en fonction de x et y le volume V, exprimé en dm3, de cet aquarium.

    2. En déduire le volume V en fonction de x sous la contrainte précédente.

  2. On définit la fonction f sur l'intervalle 020 par fx=V.

    1. Montrer que la fonction f admet un maximum sur 020.

    2. En déduire les dimensions de l'aquarium pour que son volume soit maximal ainsi que la valeur de ce volume maximal.

partie b :

Soit g la fonction définie pour tout x020 et tout y020 par gxy=xy+10x+y.
On donne ci-dessous, la représentation graphique de la surface d'équation z=gxy dans un repère orthogonal Oıȷk.

Surface f(x;y) : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Quelle est la nature de la section de cette surface par le plan d'équation x=12, parallèle au plan Oȷk ? Justifier la réponse.

  2. Montrer que gxy représente en fonction des dimensions x et y l'aire S, exprimée en dm2, de la surface vitrée de l'aquarium.

  3. On suppose pour cette question que x=12.

    1. Calculer l'aire de la surface vitrée de l'aquarium dans le cas où la contrainte de la partie A est respectée.

    2. Déterminer, à l'aide du graphique, les valeurs de y pour lesquelles l'aire est comprise entre 400 et 500 dm2.

    3. Vérifier le résultat précédent en utilisant le résultat de la question 1.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

On donne ci-dessous la courbe représentative C de la fonction f définie sur 0+ par fx=e-12x+1 dans un repère orthonormé du plan Oıȷ d'unité 2 cm.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Démontrer que l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 2 est y=-12x+2. Tracer T sur le graphique fourni.

  2. On définit la fonction g sur l'intervalle 0+ par gx=fx+12x-2

    1. Démontrer que la fonction g est décroissante sur l'intervalle 02 et croissante sur l'intervalle 2+ .

    2. Calculer g2. En déduire le signe de g sur l'intervalle 0+. Interpréter graphiquement le résultat.

    1. Hachurer sur le graphique le domaine D délimité par la courbe C, la droite T, la droite d'équation x=2 et l'axe des ordonnées.

    2. Calculer l'aire du domaine D en cm2. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10−2.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Sur son trajet quotidien qui le conduit de son domicile à son lieu de travail, un automobiliste rencontre deux feux tricolores. Si, lorsqu'il parvient à leur niveau, le signal est vert, il passe, si le signal est orange ou rouge, il s'arrête.

On note :

  1. Lorsque l'automobiliste se présente au premier feu, la probabilité que le signal soit orange est 16, la probabilité qu'il soit rouge est 13.

    1. Quelle est la probabilité que l'automobiliste s'arrête au premier feu ?

    2. Quelle est la probabilité qu'il passe sans s'arrêter au premier feu ?

  2. Si l'automobiliste s'est arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête également au deuxième feu est 12 ; s'il ne s'est pas arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête au deuxième feu est 13.

    1. Illustrer cette situation par un arbre pondéré.

    2. Démontrer que la probabilité que l'automobiliste ne s'arrête pas sur son trajet est 13.

    3. Calculer pA1A2 et pA1¯A2 ; en déduire pA2.

    4. L'automobiliste s'est arrêté au deuxième feu. Quelle est la probabilité qu'il se soit également arrêté au premier feu ?

  3. Si l'automobiliste effectue le trajet sans s'arrêter, celui-ci dure neuf minutes, s'il s'arrête une fois, douze minutes, et s'il s'arrête deux fois, quinze minutes.

    1. Déterminer la loi de probabilité de la durée du trajet.

    2. Déterminer la durée moyenne du trajet.


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