Une entreprise désire construire dans son hall d'entrée un aquarium ayant la forme d'un pavé droit de hauteur 5 dm (décimètres). Ses deux autres dimensions, exprimées en dm, sont des entiers naturels x et y tels que et .
La structure de cette construction est un bâti métallique correspondant aux 12 arêtes du pavé droit et nécessitant des réglettes d'aluminium dont le prix de revient est de 0,8 euro le dm.
Les quatre parois verticales et le fond de cet aquarium sont construits en verre.
On décide d'investir exactement 80 euros pour la construction du bâti métallique.
Montrer que, pour cet investissement, les dimensions x et y sont liées par la contrainte
Déterminer la longueur totale des arêtes.
Déterminer en fonction de x et y le volume V, exprimé en dm3, de cet aquarium.
Le volume d'un pavé droit est :
En déduire le volume V en fonction de x sous la contrainte précédente.
On définit la fonction f sur l'intervalle par .
Montrer que la fonction f admet un maximum sur .
En déduire les dimensions de l'aquarium pour que son volume soit maximal ainsi que la valeur de ce volume maximal.
Soit g la fonction définie pour tout et tout par .
On donne ci-dessous, la représentation graphique de la surface d'équation dans un repère orthogonal .
Quelle est la nature de la section de cette surface par le plan d'équation , parallèle au plan ? Justifier la réponse.
Montrer que représente en fonction des dimensions x et y l'aire S, exprimée en dm2, de la surface vitrée de l'aquarium.
On suppose pour cette question que .
Calculer l'aire de la surface vitrée de l'aquarium dans le cas où la contrainte de la partie A est respectée.
Déterminer, à l'aide du graphique, les valeurs de y pour lesquelles l'aire est comprise entre 400 et 500 dm2.
Vérifier le résultat précédent en utilisant le résultat de la question 1.
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