Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans un pays européen, le montant des recettes touristiques, exprimé en millions d'euros, est donné dans le tableau ci-dessous

Année200020012002200320042005
Rang de l'année xi012345
Montant des recettes touristiques yi en millions d'euros 24 49526 50029 40133 29933 67534 190
  1. On utilise un ajustement affine. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients, obtenus à l'aide de la calculatrice, seront arrondis au centième.

    L'équation de la droite d'ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés est : y=2111,37x+24981,57(coefficients obtenus à l'aide de la calculatrice et arrondis au centième)


  2. En supposant que cet ajustement est valable jusqu'en 2007, calculer le montant que l'on peut prévoir pour les recettes touristiques de l'année 2007, arrondi au million d'euros.

    Le rang de l'année 2007 est 7 d'où un montant en millions d'euros, prévisible de : 2111,37×7+24981,57=39761,16

    Arrondi au million d'euros, le montant que l'on peut prévoir pour les recettes touristiques de l'année 2007 est de 39 761 millions d'euros.


partie b

On considère la fonction f définie pour tout nombre entier n par f(n)=e10,13+0,07n.
On utilise cette fonction pour modéliser l'évolution des recettes touristiques de ce pays européen. Ainsi f(n) représente le montant des recettes touristiques (exprimé en millions d'euros) de ce pays européen pour l'année 2000 + n.

  1. Selon ce modèle, calculer le montant des recettes touristiques que l'on peut prévoir pour l'année 2007. Arrondir le résultat au million d'euros.

    Avec ce modèle, pour n=7 on obtient e10,13+0,07×7=e10,6240945,6

    Arrondi au million d'euros, le montant prévisible avec ce modèle, pour les recettes touristiques de l'année 2007 est de 40 946 millions d'euros.


    1. Déterminer le nombre entier n à partir duquel f(n)>45 000.

      f(n)>45 000e10,13+0,07n>45 000ln(e10,13+0,07n)>ln45 000la fonction ln est strictement croissante10,13+0,07n>ln45 000 pour tout réel   xln(ex)=xn>ln45 000-10,130,07

      ln45 000-10,130,078,35. Comme n est un nombre entier alors n9

      Le nombre entier n à partir duquel f(n)>45 000 est 9.


    2. En déduire l'année à partir de laquelle, selon ce modèle, le montant des recettes touristiques dépasserait 45 000 millions d'euros.

      Selon ce modèle, le montant des recettes touristiques dépasserait 45 000 millions d'euros en 2009.



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