Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, exprimée en kilogrammes, est limitée à 10 kilogrammes.

partie I : étude des coûts hebdomadaires de production

  1. Le coût marginal de production est fonction de la quantité x de médicament produit. Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction Cm définie pour les nombres réels x de l'intervalle [0;10] par : Cm(x)=x+16x+1.
    (Cm(x) est exprimé en centaines d'euros, x en kilogrammes).
    Étudier les variations de la fonction Cm, puis dresser le tableau de variation de la fonction Cm sur l'intervalle [0;10].

    Soit u la fonction définie sur l'intervalle [0;10] par u(x)=x+1 . Sa dérivée u est la fonction définie sur l'intervalle [0;10] par u(x)=1. Comme u(x)0, la fonction f=1u est dérivable sur l'intervalle [0;10] et f=-uu2.

    Par conséquent, la fonction Cm est dérivable sur l'intervalle [0;10] et sa dérivée est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [0;10] par Cm(x)=1-16(x+1)2=(x+1)2-16(x+1)2=(x+1-4)(x+1+4)(x+1)2=(x-3)(x+5)(x+1)2

    Sur l'intervalle [0;10] , les variations de la fonction g se déduisant du signe de sa dérivée, étudions le signe de Cm

    x0 3 10
    x-3 0||+ 
    x+5 +|+ 
    (x+1)2 +|+ 
    Cm(x) 0||+ 

    On en déduit le tableau des variations de Cm

    x0 3 10
    Cm(x) 0||+ 
    Cm(x)

    16

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    7

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    12611

    Avec Cm(0)=16, Cm(3)=3+164=7 et Cm(10)=10+1611=12611

  2. En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production. Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction Cm.
    Déterminer la fonction C, primitive de la fonction Cm sur l'intervalle [0;10] qui modélise ce coût total, pour une production de médicaments comprise entre 0 et 10 kilogrammes, sachant que C(0)=0.

    La fonction u définie sur l'intervalle [0;10] par u(x)=x+1 est strictement positive sur cet intervalle. Par conséquent, une primitive de la fonction f:x1x+1 est la fonction F:xln(x+1).

    Les primitives de la fonction Cm sont les fonctions C définies sur l'intervalle [0;10] par :C(x)=x22+16ln(x+1)+kavec k

    Or C(0)=016ln(1)+k=0k=0.

    La fonction qui modélise le coût total est la fonction C définie sur l'intervalle [0;10] par C(x)=x22+16ln(x+1).


partie II : étude du bénéfice hebdomadaire.

On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d'au moins 1 kg et que tout ce qui est produit est vendu.
Le bénéfice hebdomadaire (exprimé en centaines d'euros) dépend de la masse x (exprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle [1;10] par B(x)=9x-0,5x2-16ln(x+1).

La représentation graphique de la fonction B dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe (Γ ) donnée ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction B : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. On admet que la fonction B est strictement croissante sur l'intervalle [1;7] et strictement décroissante sur l'intervalle [7;10].
      En déduire la quantité de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines d'euros) soit maximal.

      La fonction B est strictement croissante sur l'intervalle [1;7] et strictement décroissante sur l'intervalle [7;10].

      Ainsi, l'entreprise doit produire 7 kg de médicaments par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire soit maximal.


    2. Calculer ce bénéfice hebdomadaire maximal en centaines d'euros (arrondir à l'euro).

      B(7)=9×7-0,5×49-16ln(8)5,229

      Arrondi à l'euro, le bénéfice hebdomadaire maximal est de 523 euros.


    1. Utiliser la courbe (Γ ) pour déterminer un encadrement d'amplitude 0,5 de la plus petite quantité x0 de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d'argent.

      Par lecture graphique, les quantités à produire pour que l'entreprise ne perde pas d'argent sont les abscisses des points de la courbe (Γ ) situés au dessus de l'axe des abscisses.

      Graphiquement, B(x)=0 pour 2,5<x0<3.


    2. Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur décimale de x0 approchée au centième.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve :B(2,84)-0,00036etB(2,85)0,0196

      D'où 2,84<x0<2,85 . Comme on cherche à déterminer une valeur approchée au centième telle que le bénéfice soit positif alors :

      une valeur approchée au centième de x0 est 2,85.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.