Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, exprimée en kilogrammes, est limitée à 10 kilogrammes.
Le coût marginal de production est fonction de la quantité x de médicament produit. Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction définie pour les nombres réels x de l'intervalle par : .
( est exprimé en centaines d'euros, x en kilogrammes).
Étudier les variations de la fonction , puis dresser le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle .
Soit u la fonction définie sur l'intervalle par . Sa dérivée est la fonction définie sur l'intervalle par . Comme , la fonction est dérivable sur l'intervalle et .
Par conséquent, la fonction est dérivable sur l'intervalle et sa dérivée est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par
Sur l'intervalle , les variations de la fonction g se déduisant du signe de sa dérivée, étudions le signe de
x | 0 | 3 | 10 | ||
− | + | ||||
+ | | | + | |||
+ | | | + | |||
− | + |
On en déduit le tableau des variations de
x | 0 | 3 | 10 | ||
− | + | ||||
16 | 7 |
Avec , et
En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production. Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction .
Déterminer la fonction C, primitive de la fonction sur l'intervalle qui modélise ce coût total, pour une production de médicaments comprise entre 0 et 10 kilogrammes, sachant que .
La fonction u définie sur l'intervalle par est strictement positive sur cet intervalle. Par conséquent, une primitive de la fonction est la fonction .
Les primitives de la fonction sont les fonctions C définies sur l'intervalle par :
Or .
La fonction qui modélise le coût total est la fonction C définie sur l'intervalle par .
On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d'au moins 1 kg et que tout ce qui est produit est vendu.
Le bénéfice hebdomadaire (exprimé en centaines d'euros) dépend de la masse x (exprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle par .
La représentation graphique de la fonction B dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe (Γ ) donnée ci-dessous.
On admet que la fonction B est strictement croissante sur l'intervalle et strictement décroissante sur l'intervalle .
En déduire la quantité de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines d'euros) soit maximal.
La fonction B est strictement croissante sur l'intervalle et strictement décroissante sur l'intervalle .
Ainsi, l'entreprise doit produire 7 kg de médicaments par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire soit maximal.
Calculer ce bénéfice hebdomadaire maximal en centaines d'euros (arrondir à l'euro).
Arrondi à l'euro, le bénéfice hebdomadaire maximal est de 523 euros.
Utiliser la courbe (Γ ) pour déterminer un encadrement d'amplitude 0,5 de la plus petite quantité de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d'argent.
Par lecture graphique, les quantités à produire pour que l'entreprise ne perde pas d'argent sont les abscisses des points de la courbe (Γ ) situés au dessus de l'axe des abscisses.
Graphiquement, pour .
Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur décimale de approchée au centième.
À l'aide de la calculatrice, on trouve :
D'où . Comme on cherche à déterminer une valeur approchée au centième telle que le bénéfice soit positif alors :
une valeur approchée au centième de est 2,85.
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