Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, exprimée en kilogrammes, est limitée à 10 kilogrammes.
Le coût marginal de production est fonction de la quantité x de médicament produit. Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction définie pour les nombres réels x de l'intervalle par : .
( est exprimé en centaines d'euros, x en kilogrammes).
Étudier les variations de la fonction , puis dresser le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle .
En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production. Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction .
Déterminer la fonction C, primitive de la fonction sur l'intervalle qui modélise ce coût total, pour une production de médicaments comprise entre 0 et 10 kilogrammes, sachant que .
On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d'au moins 1 kg et que tout ce qui est produit est vendu.
Le bénéfice hebdomadaire (exprimé en centaines d'euros) dépend de la masse x (exprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle par .
La représentation graphique de la fonction B dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe (Γ ) donnée ci-dessous.
On admet que la fonction B est strictement croissante sur l'intervalle et strictement décroissante sur l'intervalle .
En déduire la quantité de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines d'euros) soit maximal.
Calculer ce bénéfice hebdomadaire maximal en centaines d'euros (arrondir à l'euro).
Utiliser la courbe (Γ ) pour déterminer un encadrement d'amplitude 0,5 de la plus petite quantité de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d'argent.
Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur décimale de approchée au centième.
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