Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: France Métropolitaine

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
notation : une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,25 point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

  1. Pour tout nombre réel a et pour tout nombre réel b, on peut affirmer que eaeb est égal à :

    1. Réponse A : eab
    2. Réponse B : ea-b
    3. Réponse C : ea-eb
  2. On considère trois fonctions f, g et h définies sur telles que, pour tout nombre réel x, fxgxhx.
    Si l'on sait que limx+gx=+ alors on peut en déduire que :

    1. Réponse A : limx+fx=+
    2. Réponse B : limx+fx=-
    3. Réponse C : limx+hx=+
  3. On considère une fonction f définie et dérivable sur , de dérivée f. On donne ci-dessous son tableau de variations.

    x− ∞ − 1 1 + ∞
    fx +00+ 
    fx

    0

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    e

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    2

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    + ∞

    1. L'équation fx=1 admet dans

      1. Réponse A : trois solutions
      2. Réponse B : deux solutions
      3. Réponse C : une solution
    2. On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère Oıȷ. La tangente à la courbe C au point d'abscisse 0 peut avoir pour équation

      1. Réponse A : y=-3x+2
      2. Réponse B : y=3x+1
      3. Réponse C : y=-4

Exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans un pays européen, le montant des recettes touristiques, exprimé en millions d'euros, est donné dans le tableau ci-dessous

Année200020012002200320042005
Rang de l'année xi012345
Montant des recettes touristiques yi en millions d'euros 24 49526 50029 40133 29933 67534 190
  1. On utilise un ajustement affine. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients, obtenus à l'aide de la calculatrice, seront arrondis au centième.

  2. En supposant que cet ajustement est valable jusqu'en 2007, calculer le montant que l'on peut prévoir pour les recettes touristiques de l'année 2007, arrondi au million d'euros.

partie b

On considère la fonction f définie pour tout nombre entier n par fn=e10,13+0,07n.
On utilise cette fonction pour modéliser l'évolution des recettes touristiques de ce pays européen. Ainsi fn représente le montant des recettes touristiques (exprimé en millions d'euros) de ce pays européen pour l'année 2000 + n.

  1. Selon ce modèle, calculer le montant des recettes touristiques que l'on peut prévoir pour l'année 2007. Arrondir le résultat au million d'euros.

    1. Déterminer le nombre entier n à partir duquel fn>45 000.

    2. En déduire l'année à partir de laquelle, selon ce modèle, le montant des recettes touristiques dépasserait 45 000 millions d'euros.


Exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

La production journalière d'une entreprise dépend de deux facteurs : le travail de la main d'oeuvre et l'utilisation des machines. On désigne :

- par x la durée journalière de travail de la main d'oeuvre, exprimée en heures ; x appartient à l'intervalle 010

- par y la durée journalière d'utilisation des machines, exprimée en heures ; y appartient à l'intervalle 012

La quantité journalière produite (en tonnes) est donnée par la relation : fxy=3xyx+yavec 0<x10 et 0<y12

La figure ci-dessous représente la surface (S) d'équation : z=fxy pour 0<x10 et 0<y12

surface (S) d'équation z=fxy

Surface S : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie 1

Le point A représenté par une croix est un point de la surface (S).

  1. Déterminer graphiquement l'abscisse et la cote du point A. Calculer son ordonnée (arrondie au dixième).

  2. Interpréter les résultats obtenus en référence à la production journalière de l'entreprise.

partie 2

Pour chaque heure, le coût total du travail s'élève à 4 milliers d'euros, et le coût total d'utilisation des machines s'élève à 1 millier d'euros.

L'entreprise décide de dépenser 36 milliers d'euros par jour et cherche à maximiser sa production journalière sous cette contrainte. On a alors 4x+y=36

La quantité journalière produite (en tonnes) sous cette contrainte de coût peut donc être modélisée par la fonction g définie sur l'intervalle 010 par gx=4x2-36xx-12

  1. On note g la fonction dérivée de g sur l'intervalle 010.

    1. Pour tout nombre réel x de l'intervalle 010, calculer gx et montrer que gx=4x-6x-18x-122

    2. Étudier les variations de la fonction g sur l'intervalle 010.

    1. En déduire la durée journalière de travail et la durée journalière d'utilisation des machines permettant d'obtenir une production journalière maximale pour un coût total de 36 milliers d'euros.

    2. Préciser la quantité journalière maximale produite en tonnes.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s'entraîne sur un site internet.
40 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30% sont de niveau moyen et 30% de niveau difficile.
Pierre sait qu'il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60 % des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40 % des cas.

Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.

On considère les évènements suivants :

  1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

    1. Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse.

    2. Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas.

    3. Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68.

  2. Sachant que Pierre n'a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau moyen ?

  3. Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite sœur affirme : « Je pense que ta grille était facile ». Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse à l'aide d'un calcul.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, exprimée en kilogrammes, est limitée à 10 kilogrammes.

partie I : étude des coûts hebdomadaires de production

  1. Le coût marginal de production est fonction de la quantité x de médicament produit. Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction Cm définie pour les nombres réels x de l'intervalle 010 par : Cmx=x+16x+1.
    (Cmx est exprimé en centaines d'euros, x en kilogrammes).

    Étudier les variations de la fonction Cm, puis dresser le tableau de variation de la fonction Cm sur l'intervalle 010.

  2. En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production. Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction Cm.

    Déterminer la fonction C, primitive de la fonction Cm sur l'intervalle 010 qui modélise ce coût total, pour une production de médicaments comprise entre 0 et 10 kilogrammes, sachant que C0=0.

partie II : étude du bénéfice hebdomadaire.

On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d'au moins 1 kg et que tout ce qui est produit est vendu.
Le bénéfice hebdomadaire (exprimé en centaines d'euros) dépend de la masse x (exprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle 110 par Bx=9x-0,5x2-16lnx+1.

La représentation graphique de la fonction B dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe (Γ ) donnée ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction B : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. On admet que la fonction B est strictement croissante sur l'intervalle 17 et strictement décroissante sur l'intervalle 710.

      En déduire la quantité de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines d'euros) soit maximal.

    2. Calculer ce bénéfice hebdomadaire maximal en centaines d'euros (arrondir à l'euro).

    1. Utiliser la courbe (Γ ) pour déterminer un encadrement d'amplitude 0,5 de la plus petite quantité x0 de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d'argent.

    2. Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur décimale de x0 approchée au centième.



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