Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

La production journalière d'une entreprise dépend de deux facteurs : le travail de la main-d'œuvre et l'utilisation des machines. On désigne :

- par x la durée journalière de travail de la main-d'œuvre, exprimée en heures ; x appartient à l'intervalle ]0;10]

- par y la durée journalière d'utilisation des machines, exprimée en heures ; y appartient à l'intervalle ]0;12]

La quantité journalière produite (en tonnes) est donnée par la relation : f(x;y)=3xyx+yavec 0<x10 et 0<y12

La figure ci-dessous représente la surface (S) d'équation : z=f(x;y) pour 0<x10 et 0<y12

surface (S) d'équation z=f(x;y)

Surface S : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie 1

Le point A représenté par une croix est un point de la surface (S).

  1. Déterminer graphiquement l'abscisse et la cote du point A. Calculer son ordonnée (arrondie au dixième).

    Le point A est un point de la surface S situé à l'intersection des lignes de niveau x=6 et z=4 . Ses coordonnées sont A(6;y;4) avec {0<y123×6×y6+y=4{0<y1218y-24-4y6+y=0{0<y1214y-246+y=0 Soit y=2414=127. Les coordonnées point A sont A(6;127;4)

    L'arrondi au dixième de l'ordonnée du point A est 1,7.


  2. Interpréter les résultats obtenus en référence à la production journalière de l'entreprise.

    Avec une durée journalière de 6 heures de travail de la main-d'œuvre et de 1,7 heures d'utilisation des machines, la production quotidienne est de 4 tonnes.


partie 2

Pour chaque heure, le coût total du travail s'élève à 4 milliers d'euros, et le coût total d'utilisation des machines s'élève à 1 millier d'euros.
L'entreprise décide de dépenser 36 milliers d'euros par jour et cherche à maximiser sa production journalière sous cette contrainte. On a alors 4x+y=36.
La quantité journalière produite (en tonnes) sous cette contrainte de coût peut donc être modélisée par la fonction g définie sur l'intervalle ]0;10] par g(x)=4x2-36xx-12

  1. On note g la fonction dérivée de g sur l'intervalle ]0;10].

    1. Pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0;10], calculer g(x) et montrer que g(x)=4(x-6)(x-18)(x-12)2

      g est la fonction définie sur l'intervalle ]0;10] par g(x)=4x2-36xx-12

      Pour tout réel x de l'intervalle ]0;10], posons {u(x)=4x2-36x d'où u(x)=8x-36 et v(x)=x-12 d'où v(x)=1 alors, g=uv d'où g=uv-uvv2.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle ]0;10], g(x)=(8x-36)(x-12)-(4x2-36x)(x-12)2=8x2-36x-96x+432-4x2+36x(x-12)2=4x2-96x+432(x-12)2=4(x2-24x+108)(x-12)2

      Cherchons une factorisation du polynôme x2-24x+108

      Δ=(-24)2-4×1×108=576-432=144=122

      Les racines du polynôme sont : x1=24-122=6etx2=24+122=18

      Par conséquent, pour tout réel x, x2-24x+108=(x-6)(x-18)

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle ]0;10], g(x)=4(x-6)(x-18)(x-12)2


    2. Étudier les variations de la fonction g sur l'intervalle ]0;10].

      Sur l'intervalle ]0;10] , les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée.

      Étudions le signe de g

      x0 6 10
      x-6   0||+ 
      x-18   | 
      (x-12)2   +|+ 
      g(x)   +0|| 

      On en déduit le tableau des variations de g

      x0 6 10
      g(x)   +0|| 
      g(x)    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.  fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.  
    1. En déduire la durée journalière de travail et la durée journalière d'utilisation des machines permettant d'obtenir une production journalière maximale pour un coût total de 36 milliers d'euros.

      D'après l'étude précédente, le maximum de la fonction g est atteint pour x=6 . Sous la contrainte 4x+y=36, la durée y en heures d'utilisation des machines est solution de 4×6+y=36y=12

      Pour un coût total de 36 milliers d'euros, la production journalière est maximale pour une durée journalière de 6 heures travail de main-d'œuvre de 12 heures d'utilisation des machines.


    2. Préciser la quantité journalière maximale produite en tonnes.

      La quantité journalière maximale produite est g(6)=4×62-36×66-12=12

      Pour un coût total de 36 milliers d'euros, la production journalière maximale est de 12 tonnes.



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