Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s'entraîne sur un site internet.
40 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30% sont de niveau moyen et 30% de niveau difficile.
Pierre sait qu'il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60 % des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40 % des cas.
Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.
On considère les évènements suivants :
Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
40 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30% sont de niveau moyen et 30% de niveau difficile d'où :
Pierre réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60 % des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40 % des cas d'où :
On en déduit que
D'où l'arbre pondéré traduisant la situation
Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse.
La probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse est égale à 0,12.
Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas.
La probabilité que la la grille soit facile et que Pierre ne la réussisse pas est égale à 0,02.
Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68.
Les grilles proposées sont soit faciles soit de difficulté moyenne soit difficiles. Donc F, M et D forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales : forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par :
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :
Or
Donc
La probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68.
Sachant que Pierre n'a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau moyen ?
Calculons
Or
Par conséquent,
La probabilité que ce soit une grille de niveau moyen sachant que Pierre n'a pas réussi la grille est égale à 0,375.
Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite sœur affirme : « Je pense que ta grille était facile ». Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse à l'aide d'un calcul.
La sœur a raison dans la mesure où la probabilité que la grille soit facile sachant que Pierre a réussi est plus importante que les deux probabilités conditionnelles et .
Or :
La probabilité que la grille soit facile sachant que Pierre a réussi est plus grande que celle des deux autres cas donc la sœur a moins de chance de se tromper.
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