Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s'entraîne sur un site internet.
40 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30% sont de niveau moyen et 30% de niveau difficile.
Pierre sait qu'il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60 % des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40 % des cas.

Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.

On considère les évènements suivants :

  • F : « la grille est de niveau facile »
  • M : « la grille est de niveau moyen »
  • D : « la grille est de niveau difficile »
  • R : « Pierre réussit la grille » et R¯ son évènement contraire.
  1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

    • 40 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30% sont de niveau moyen et 30% de niveau difficile d'où :p(F)=0,4;p(M)=0,3;p(D)=0,3

    • Pierre réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60 % des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40 % des cas d'où :pF(R)=0,95;pM(R)=0,6;pD(R)=0,4

    • On en déduit que pF(R¯)=1-pF(R)=0,05;pM(R¯)=1-pM(R)=0,4;pD(R¯)=1-pD(R)=0,6

    D'où l'arbre pondéré traduisant la situation

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse.

      p(DR)=pD(R)×p(D)=0,4×0,3=0,12

      La probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse est égale à 0,12.


    2. Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas.

      p(FR¯)=pF(R¯)×p(F)=0,05×0,4=0,02

      La probabilité que la la grille soit facile et que Pierre ne la réussisse pas est égale à 0,02.


    3. Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68.

      Les grilles proposées sont soit faciles soit de difficulté moyenne soit difficiles. Donc F, M et D forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
      p(R)=p(FR)+p(MR)+p(DR)

      Or p(FR)=pF(R)×p(F)etp(MR)=pM(R)×p(M)=0,4×0,95=0,3×0,6=0,38=0,18

      Donc p(R)=p(FR)+p(MR)+p(DR)=0,38+0,18+0,12=0,68

      La probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68.


  2. Sachant que Pierre n'a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau moyen ?

    Calculons pR¯(M)=p(MR¯)R¯

    Or p(MR¯)=pM(R¯)×p(M)etp(R¯)=1-p(R)=0,4×0,3=1-0,68=0,12=0,32

    Par conséquent, pR¯(M)=p(MR¯)R¯=0,120,32=0,375

    La probabilité que ce soit une grille de niveau moyen sachant que Pierre n'a pas réussi la grille est égale à 0,375.


  3. Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite sœur affirme : « Je pense que ta grille était facile ». Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse à l'aide d'un calcul.

    La sœur a raison dans la mesure où la probabilité que la grille soit facile sachant que Pierre a réussi est plus importante que les deux probabilités conditionnelles pR(M) et pR(D).

    Or : pR(F)=p(FR)R,pR(M)=p(MR)RetpR(D)=p(DR)R=0,380,680,56=0,180,680,26=0,120,680,18

    La probabilité que la grille soit facile sachant que Pierre a réussi est plus grande que celle des deux autres cas donc la sœur a moins de chance de se tromper.



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