sujet commun : france métropolitaine et La Réunion

correction de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Calculer, à 0,1 près, le pourcentage d'augmentation du nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité entre 2000 et 2004.

   Le pourcentage d'augmentation du nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité entre 2000 et 2004 est : $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{\mathrm{39,6}-\mathrm{22,1}}{\mathrm{22,1}}}\times 100& \approx & \mathrm{79,186}\end{array}$$

   Entre 2000 et 2004, le nombre de milliers de PACS a augmenté de 79,2% (arrondi à 0,1 près).

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2. On envisage un ajustement affine.

   1. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y=ax+b$.
      Par la suite, on pose $f\left(x\right)=ax+b$.

      Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $$y=\mathrm{4,67}x+\mathrm{18,1}$$

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   2. En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2007, donner une estimation du nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007.

      Le rang de l'année 2007 est 7 d'où une estimation à l'aide de cet ajustement de : $$\begin{array}{lll}y& =& \mathrm{4,67}\times 7+\mathrm{18,1}\\ & =& \mathrm{50,79}\end{array}$$

      Arrondi à 0,1 près, le nombre de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007 sera d'environ 50,8 milliers.

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3. On envisage un autre type d'ajustement.

   On modélise le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés durant l'année $2000+x$ (x entier) à l'aide de la fonction g définie par $$g\left(x\right)=\mathrm{1,6}{x}^2-\mathrm{1,8}x+\mathrm{21,4}$$

   1. En utilisant ce second modèle, calculer le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007.

      $$\begin{array}{lll}g\left(7\right)& =& \mathrm{1,6}\times 7^2-\mathrm{1,8}\times 7+\mathrm{21,4}\\ & =& \mathrm{87,2}\end{array}$$

      Le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007 sera de 87,2.

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   2. On suppose que l'évolution se poursuit selon ce modèle jusqu'en 2015. Le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2010 sera-t-il supérieur à 100 000 ? Justifier.

      Remarque

      Je pense qu'il y a une coquille dans l'énoncé.
      Si on suppose que l'évolution se poursuit selon ce modèle jusqu'en 2015, un nombre de milliers de 100 000 est absurde.
      Le corrigé est établi avec la formulation de la question suivante :
      Le nombre de Pactes Civils de Solidarité signés en 2010 sera-t-il supérieur à 100 000 ?

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      Le rang de l'année 2010 est 10 et le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2010 sera :$$\begin{array}{lll}g\left(10\right)& =& \mathrm{1,6}\times {10}^2-\mathrm{1,8}\times 10+\mathrm{21,4}\\ & =& \mathrm{163,4}\end{array}$$

      En 2010, le nombre de Pactes Civils de Solidarité signés sera supérieur à 100 000.

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4. Comparaison des deux ajustements.

   Pour chacun des deux modèles, on calcule ci-dessous le tableau des carrés des écarts entre les valeurs réelles et les valeurs calculées à l'aide de chacun des deux ajustements.

   $x_i$	0	1	2	3	4
   ${\left(y_i-f\left(x_i\right)\right)}^2$	16	11,36	5,95	1,02	7,95

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   $x_i$	0	1	2	3	4
   ${\left(y_i-g\left(x_i\right)\right)}^2$

   1. Recopier et compléter le deuxième tableau, les valeurs étant arrondies au centième.

      $x_i$	0	1	2	3	4
      ${\left(y_i-g\left(x_i\right)\right)}^2$	0,49	3,24	0,64	0,49	0,04

   2. Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité ? Justifier.

      Pour une valeur $x_i$, ${\left(y_i-f\left(x_i\right)\right)}^2$ ( respectivement ${\left(y_i-g\left(x_i\right)\right)}^2$ ) est le carré de l'erreur commise en remplaçant la valeur observée $y_i$ par l'estimation obtenue à l'aide de l'ajustement affine f (respectivement à l'aide de la fonction g).
      D'une manière générale, on convient que l'ajustement le plus proche de la réalité est celui, pour lequel la somme des carrés des erreurs commises est la plus petite.

      Or $$\begin{array}{lll}{S}_f& =& {\displaystyle \sum _{i=1}^4}{\left(y_i-f\left(x_i\right)\right)}^2\\ & =& 16+\mathrm{11,36}+\mathrm{5,95}+\mathrm{1,02}+\mathrm{7,95}\\ & =& \mathrm{42,28}\end{array}$$ et $$\begin{array}{lll}{S}_g& =& {\displaystyle \sum _{i=1}^4}{\left(y_i-g\left(x_i\right)\right)}^2\\ & =& \mathrm{0,49}+\mathrm{3,24}+\mathrm{0,64}+\mathrm{0,49}+\mathrm{0,04}\\ & =& \mathrm{4,9}\end{array}$$

      ${\displaystyle \sum _{i=1}^4}{\left(y_i-g\left(x_i\right)\right)}^2<{\displaystyle \sum _{i=1}^4}{\left(y_i-f\left(x_i\right)\right)}^2$ donc l'ajustement à l'aide de la fonction g semble le plus proche de la réalité.

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