Baccalauréat septembre 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet commun : france métropolitaine et La Réunion

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.

Une fonction f est définie et dérivable sur l'ensemble -6-3-3+. Le tableau de variations de la fonction f est le suivant :

x-6-4-3,5-32+

Variations de f

7

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

8

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

-

+

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

3

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

5

  1. On peut affirmer que :

    Réponse A : limx5fx=+.

    Réponse B : limx+fx=5.

    Réponse C : limx-6fx=-.

    Réponse D : limx-3x<-3fx=0.

  2. La courbe représentative de f admet pour asymptotes les droites d'équation :

    Réponse A : x=5 et y=-3.

    Réponse B : x=-3 et y=5.

    Réponse C : y=8 et y=3.

    Réponse D : x=-6 et y=5.

  3. Dans l'ensemble -6-3-3+ l'équation fx=4 admet :

    Réponse A : 0 solution.

    Réponse B : 1 solution.

    Réponse C : 2 solutions.

    Réponse D : 3 solutions.

  4. On considère le nombre réel I=24fxdx. On peut affirmer que :

    Réponse A : 0I3.

    Réponse B : 6I10.

    Réponse C : 3I6.

    Réponse D : I10.


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau suivant donne, en milliers, le nombre de Pactes Civils de Solidarité (PACS) signés chaque année en France

Source INSEE.
Années 20002001200220032004
Rang de l'année, xi01234
Nombres de PACS en milliers, yi22,119,42531,139,6

  1. Calculer, à 0,1 près, le pourcentage d'augmentation du nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité entre 2000 et 2004.

  2. On envisage un ajustement affine.

    1. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés, sous la forme y=ax+b.
      Par la suite, on pose fx=ax+b.

    2. En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2007, donner une estimation du nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007.

  3. On envisage un autre type d'ajustement.

    On modélise le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés durant l'année 2000+x (x entier) à l'aide de la fonction g définie par gx=1,6x2-1,8x+21,4.

    1. En utilisant ce second modèle, calculer le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007.

    2. On suppose que l'évolution se poursuit selon ce modèle jusqu'en 2015.

      Le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2010 sera-t-il supérieur à 100 000 ? Justifier.

  4. Comparaison des deux ajustements.

    Pour chacun des deux modèles, on calcule ci-dessous le tableau des carrés des écarts entre les valeurs réelles et les valeurs calculées à l'aide de chacun des deux ajustements.

    xi01234
    yi-fxi21611,365,951,027,95

    xi01234
    yi-gxi2     
    1. Recopier et compléter le deuxième tableau, les valeurs étant arrondies au centième.

    2. Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité ? Justifier.


exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie i :

Le graphe suivant représente le plan d'une ville. Les arêtes du graphe représentent ses avenues commerçantes et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues.

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Donner l'ordre de ce graphe, puis le degré de chacun de ses sommets.

  2. Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue ? Justifier votre réponse.

partie ii :

Dans le graphe suivant, on a indiqué le sens de circulation dans les différentes avenues.

Graphe orienté : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Écrire la matrice M associée à ce graphe.
    (On rangera les sommets dans l'ordre alphabétique).

    1. Quel est le nombre de trajets de longueur 2 reliant D à B ?

    2. Comment pourrait-on obtenir ce résultat uniquement par le calcul à partir de la matrice M ?


exercice 3 ( 7 points ) commun à tous les candidats

La courbe (C) donnée en ANNEXE, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d'une fonction f définie et dérivable sur . On note f sa fonction dérivée.
Les points A3e et B42 appartiennent à cette courbe.
La tangente à la courbe en A est parallèle à l'axe des abscisses et la tangente (T) à la courbe en B coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 6.

partie i : lecture graphique

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes, sans justifier.

  1. Pour quelles valeurs du nombre réel x de l'intervalle 310 a-t-on fx2 ?
  2. Déterminer f3 et f4.

partie ii : étude de la fonction

La fonction f représentée dans l'ANNEXE, est la fonction définie sur l'intervalle 0+ par fx=x-2e-x+4.

    1. Calculer f0. Donner la valeur décimale arrondie à l'unité.

    2. On donne limx+fx=0. Donner une interprétation graphique de ce résultat.

    1. Pour tout nombre réel x de l'intervalle 0+, calculer fx et montrer que fx=3-xe-x+4

    2. Sur l'intervalle 0+ étudier le signe de fx, puis dresser le tableau de variations de la fonction f.

  1. On admet que la fonction g définie sur l'intervalle 0+ par gx=1-xe-x+4 est une primitive de la fonction f sur l'intervalle 0+.
    En déduire la valeur moyenne m de f sur l'intervalle 210. On donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au millième.

    Rappel : Soit f une fonction et ab un intervalle sur lequel f est définie et dérivable. La valeur moyenne m de f sur l'intervalle ab, est le nombre m tel que : m=1b-a×abfxdx

partie iii : étude d'un bénéfice

Une entreprise vend x centaines de litres de parfum par jour 1,8x4,5.
Le bénéfice en milliers d'euros réalisé, par jour, par l'entreprise lorsqu'elle vend x centaines de litres est donné par fx pour x1,84,5. On suppose donc que pour des raisons techniques et commerciales l'entreprise vend au moins 180 litres et au plus 450 litres.

  1. Calculer le bénéfice en euros réalisé sur la vente de 4001 litres (soit 4 centaines de litres).

  2. Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à 1 €).

  3. À partir de quelle quantité journalière l'entreprise ne vend-elle pas à perte ?

ANNEXE

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 4 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Jean s'amuse régulièrement sur un terrain de football avec le gardien de but. Chaque partie consiste à tirer successivement deux tirs au but.

Au vu des résultats obtenus au cours de l'année, on admet que :

On note :

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

  2. Calculer la probabilité que les deux tirs au but soient réussis.

    1. Calculer la probabilité que le second tir au but soit réussi.

    2. Les évènements R1 et R2 sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

  3. On note A l'évènement : « Jean a réussi exactement un tir au but ». Montrer que pA=0,34.



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✉ A.Yallouz

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