Baccalauréat septembre 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet commun : france métropolitaine et La Réunion

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

La courbe (C) donnée ci dessous, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d'une fonction f définie et dérivable sur . On note f sa fonction dérivée.
Les points A(3;e) et B(4;2) appartiennent à cette courbe.
La tangente à la courbe en A est parallèle à l'axe des abscisses et la tangente (T) à la courbe en B coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 6.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie i : lecture graphique

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes, sans justifier.

  1. Pour quelles valeurs du nombre réel x de l'intervalle [3;10] a-t-on f(x)2 ?

    Graphiquement, f(x)2 pour les abscisses des points de la courbe (C) situés sous la droite d'équation y=2.

    Sur l'intervalle [3;10], f(x)2 pour x[4;10]


  2. Déterminer f(3) et f(4).

    La tangente à la courbe en A(3;e) est parallèle à l'axe des abscisses alors f(3)=0


    Le nombre dérivé f(4) est le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe en B(4;2) . Or la droite (T) coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 6. D'où f(4)=2-04-6

    Soit f(4)=-1


partie ii : étude de la fonction

La fonction f représentée ci dessus, est la fonction définie sur l'intervalle [0;+[ par f(x)=(x-2)e(-x+4).

    1. Calculer f(0). Donner la valeur décimale arrondie à l'unité.

      f(0)=-2e4-109,196

      L'arrondi à l'unité de f(0) est -109.


    2. On donne limx+f(x)=0. Donner une interprétation graphique de ce résultat.

      limx+f(x)=0 donc l'axe des abscisses est asymptote à la courbe (C) en +.


    1. Pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;+[, calculer f(x) et montrer que f(x)=(3-x)e(-x+4)

      Pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;+[, posons u(x)=x-2etv(x)=e(-x+4)d'oùu(x)=1etv(x)=-e(-x+4)

      f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. f=uv d'où f=uv+uv.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle [0;+[, f(x)=1×e(-x+4)+(x-2)×(-e(-x+4))=e(-x+4)×(1-(x-2))=e(-x+4)×(3-x)

      Ainsi, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;+[, f(x)=(3-x)e(-x+4).


    2. Sur l'intervalle [0;+[ étudier le signe de f(x), puis dresser le tableau de variations de la fonction f.

      Pour tout réel x, e(-x+4)>0. Donc sur l'intervalle [0;+[, f(x) est du même signe que l'expression 3-x .

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :

      x0 3 +
      f(x)0+0 
      f(x)

      -2e4

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      e

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      0


  1. On admet que la fonction g définie sur l'intervalle [0;+[ par g(x)=(1-x)e(-x+4) est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0;+[.
    En déduire la valeur moyenne m de f sur l'intervalle [2;10]. On donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au millième.
    Rappel : Soit f une fonction et [a;b] un intervalle sur lequel f est définie et dérivable. La valeur moyenne m de f sur l'intervalle [a;b], est le nombre m tel que : m=1b-a×abf(x)dx

    La valeur moyenne m de f sur l'intervalle [2;10] est :m=110-2×210f(x)dx=18×[g(x)]210=18×[g(10)-g(2)]=18×[((1-10)×e(-10+4))-((1-2)×e(-2+4))]=18×[-9e-6+e2]=e2-9e-68

    La valeur moyenne de f sur l'intervalle [2;10] est m=e2-9e-68. La valeur décimale arrondie au millième de m est 0,737.


partie iii : étude d'un bénéfice

Une entreprise vend x centaines de litres de parfum par jour 1,8x4,5.
Le bénéfice en milliers d'euros réalisé, par jour, par l'entreprise lorsqu'elle vend x centaines de litres est donné par f(x) pour x[1,8;4,5]. On suppose donc que pour des raisons techniques et commerciales l'entreprise vend au moins 180 litres et au plus 450 litres.

  1. Calculer le bénéfice en euros réalisé sur la vente de 400 litres (soit 4 centaines de litres).

    Le montant en milliers d'euros du bénéfice réalisé sur la vente de 400 litres est : f(4)=2

    Le bénéfice réalisé sur la vente de 400 litres est de 2 000 €.


  2. Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à 1 €).

    D'après l'étude précédente, la fonction f admet un maximum pour x=3 et ce maximum est f(3)=e2,718.

    Pour réaliser un bénéfice maximal il faut vendre 300 litres par jour. Le bénéfice réalisé sera d'environ 2 718 €.


  3. À partir de quelle quantité journalière l'entreprise ne vend-elle pas à perte ?

    L'entreprise ne vend pas à perte quand son bénéfice est positif. C'est à dire pour une quantité x solution de : f(x)0(x-2)e(-x+4)0x-20Pour tout réel XeX>0x2

    À partir de 200 litres vendus par jour, l'entreprise ne vend pas à perte.



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