sujet commun : france métropolitaine et La Réunion

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau suivant donne, en milliers, le nombre de Pactes Civils de Solidarité (PACS) signés chaque année en France

1. Calculer, à 0,1 près, le pourcentage d'augmentation du nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité entre 2000 et 2004.

2. On envisage un ajustement affine.

   1. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y=ax+b$.
      Par la suite, on pose $f\left(x\right)=ax+b$.

   2. En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2007, donner une estimation du nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007.

3. On envisage un autre type d'ajustement.

   On modélise le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés durant l'année $2000+x$ (x entier) à l'aide de la fonction g définie par $g\left(x\right)=\mathrm{1,6}{x}^2-\mathrm{1,8}x+\mathrm{21,4}$.

   1. En utilisant ce second modèle, calculer le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007.

   2. On suppose que l'évolution se poursuit selon ce modèle jusqu'en 2015.

      Le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2010 sera-t-il supérieur à 100 000 ? Justifier.

4. Comparaison des deux ajustements.

   Pour chacun des deux modèles, on calcule ci-dessous le tableau des carrés des écarts entre les valeurs réelles et les valeurs calculées à l'aide de chacun des deux ajustements.

   $x_i$	0	1	2	3	4
   ${\left(y_i-f\left(x_i\right)\right)}^2$	16	11,36	5,95	1,02	7,95

   ---

   $x_i$	0	1	2	3	4
   ${\left(y_i-g\left(x_i\right)\right)}^2$

   1. Recopier et compléter le deuxième tableau, les valeurs étant arrondies au centième.

   2. Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité ? Justifier.

      Pour une valeur $x_i$, ${\left(y_i-f\left(x_i\right)\right)}^2$ est le carré de l'erreur commise en remplaçant la valeur observée $y_i$ par l'estimation obtenue à l'aide de la fonction f.
      D'une manière générale, on convient que l'ajustement le plus proche de la réalité est celui, pour lequel la somme des carrés des erreurs commises est la plus petite.

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