sujet : Amérique du Nord 2017

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

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1. Soit f la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-x$. On note $f\prime$ sa fonction dérivée. On a alors :

   Pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{ccccc}f\prime \left(x\right)& =& 1\times \ln \left(x\right)+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}-1& =& \ln \left(x\right)\end{array}$$

   a. $f\prime \left(x\right)=0$

   b. $f\prime \left(x\right)=\ln \left(x\right)$

   c. $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}-1$

   d. $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}-x$

2. Les entiers naturels n vérifiant l'inéquation $6\times {\mathrm{0,95}}^n-1⩽2$ appartiennent à l'intervalle :

   $$\begin{array}{rcll}6\times {\mathrm{0,95}}^n-1⩽2& \iff & 6\times {\mathrm{0,95}}^n⩽3& \\ & \iff & {\mathrm{0,95}}^n⩽\mathrm{0,5}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,95}}^n\right)⩽\ln \mathrm{0,5}& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{0,95}⩽\ln \mathrm{0,5}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,5}}{\ln \mathrm{0,95}}}& \ln \mathrm{0,95}<0\end{array}$$

   a. $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{\ln 3}{\ln \mathrm{5,7}}}\right]$

   b. $\left]-\infty ;\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{0,95}}}\right)\right]$

   c. $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,5}}{\ln \mathrm{0,95}}}\right]$

   d. $\left[{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,5}}{\ln \mathrm{0,95}}};+\infty \right[$

3. Une entreprise fabrique des tubes métalliques de longueur 2 m.
   Un tube métallique est considéré comme étant dans la norme si sa longueur est comprise entre 1,98 m et 2,02 m.
   On prélève au hasard un échantillon de 1000 tubes, on observe que 954 tubes sont dans la norme.
   L'intervalle de confiance de la fréquence des tubes dans la norme pour cette entreprise au niveau de confiance de 95 %, avec les bornes arrondies à 10^{- 3}, est :

   La fréquence des tubes qui sont dans la norme dans l'échantillon est :$$f={\displaystyle \frac{954}{1000}}=\mathrm{0,954}$$

   Un intervalle de confiance de la proportion des tubes dans la norme pour cette entreprise au niveau de confiance de 95 % est :$$I=\left[\mathrm{0,954}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1000}}};\mathrm{0,954}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1000}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,922};\mathrm{0,986}\right]$$

   a. $\left[\mathrm{0,922};\mathrm{0,986}\right]$

   b. $\left[\mathrm{0,947};\mathrm{0,961}\right]$

   c. $\left[\mathrm{1,98};\mathrm{2,02}\right]$

   d. $\left[\mathrm{0,953};\mathrm{0,955}\right]$

4. Pour un archer, la probabilité d'atteindre la cible est de 0,8. Les tirs sont supposés indépendants.
   Quelle est la probabilité qu'il touche 3 fois la cible sur une série de 6 tirs ?

   Comme les tirs sont indépendants, la loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de fois où l'archer touche la cible est une loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=\mathrm{0,8}$

   À l'aide de la calculatrice, on a :$$\begin{array}{c}P\left(X=3\right)=\mathrm{0,08192}\end{array}$$

   a. 0,512

   b. 2,4

   c. 0,262144

   d. 0,08192

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