Soit f une fonction définie sur l'intervalle ; on suppose que f est dérivable.
On a représenté la fonction f sur le graphique ci-dessous.
La tangente au point d'abscisse 3 à la courbe représentative de f passe par les points et . Déterminer .
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la droite (AB) tangente à la courbe représentative de de la fonction f au point A d'abscisse 3 :
.
D'après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de sur l'intervalle .
Avec la précision permise par le graphique, la fonction f est décroissante sur les intervalles et et, croissante sur l'intervalle . Nous pouvons en déduire le signe de sur l'intervalle :
x | 0,7 | 1 | 2 | 6 | |||
− | + | − |
On admet que la fonction f est définie par .
Montrer que , où désigne la fonction dérivée de la fonction f.
La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x de l'intervalle :
Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi, est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par .
Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle et dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle .
On ne demande pas de calculer les ordonnées.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Pour tout réel x, donc sur l'intervalle , est du même signe que le polynôme du second degré avec , et .
Le discriminant du trinôme est d'où :
donc le polynôme a deux racines :
Comme , le tableau du signe du trinôme est :
x | 1 | 2 | |||||
− | + | − |
Nous pouvons en déduire le signe de ainsi que les variations de la fonction f :
x | 0,7 | 1 | 2 | 6 | |||
− | + | − | |||||
À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.
L1 | |
L2 | Dérivée |
L3 | Factoriser |
L4 | Résoudre |
L5 | Primitive |
Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est concave.
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde définie pour tout réel x de l'intervalle par . (Ligne 3 du tableau)
Comme pour tout réel x, alors est du même signe que le trinôme .
Les racines du trinôme étant données dans la ligne 4 du tableau, nous pouvons en déduire le signe de :
x | 0,7 | 6 | |||||
+ | − | + |
La fonction f est concave sur l'intervalle .
La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ? Si oui, en donner l'abscisse.
La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour et .
La courbe représentative de la fonction f admet deux points d'inflexion d'abscisses respectives et .
On pose . Calculer la valeur exacte de I puis la valeur arrondie à .
La fonction F définie sur l'intervalle par est une primitive de la fonction f. (Ligne 5 du tableau)
On en déduit :
.
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