Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Amérique du Nord 2017

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie sur l'intervalle 0,76 ; on suppose que f est dérivable.

partie a : Étude graphique

On a représenté la fonction f sur le graphique ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. La tangente au point d'abscisse 3 à la courbe représentative de f passe par les points A34 et A40. Déterminer f3.

    Le nombre dérivé f3 est égal au coefficient directeur de la droite (AB) tangente à la courbe représentative de de la fonction f au point A d'abscisse 3 :f3=yB-yAxB-xAsoitf3=0-44-3=-4

    f3=-4.


  2. D'après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de f sur l'intervalle 0,76.

    Avec la précision permise par le graphique, la fonction f est décroissante sur les intervalles 0,71 et 26 et, croissante sur l'intervalle 12. Nous pouvons en déduire le signe de f sur l'intervalle 0,76 :

    x0,7126
    fx0||+0||

partie b : Étude théorique

On admet que la fonction f est définie par fx=x2-2x+1e-2x+6.

  1. Montrer que fx=-2x2+6x-4e-2x+6, où f désigne la fonction dérivée de la fonction f.

    La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle 0,76 : {ux=x2-2x+1;ux=2x-2vx=e-2x+6;vx=-2e-2x+6

    Soit pour tout réel x de l'intervalle 0,76, fx=2x-2e-2x+6+x2-2x+1×-2e-2x+6=2x-2-2x2-2x+1×e-2x+6=-2x2+6x-4e-2x+6

    Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle 0,76 par fx=-2x2+6x-4e-2x+6.


  2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle 0,76 et dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle 0,76.
    On ne demande pas de calculer les ordonnées.

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

    Pour tout réel x, e-2x+6>0 donc sur l'intervalle 0,76, fx est du même signe que le polynôme du second degré -2x2+6x-4 avec a=-2, b=6 et c=-4.

    Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où : Δ=36-4×-2×-4=4

    Δ>0 donc le polynôme a deux racines : x1=-b-Δ2aSoitx1=-6-2-4=2etx2=-b+Δ2aSoitx2=-6+2-4=1

    Comme a<0, le tableau du signe du trinôme -2x2+6x-4 est :

    x-12-
    -2x2+6x-40||+0||

    Nous pouvons en déduire le signe de fx ainsi que les variations de la fonction f :

    x0,7126
    fx0||+0||
    fxfonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.

     L1 fx:=-2x˄2+6x-4*e˄-2x+6
    fx=-2x2+6x-4e-2x+6
     L2 gx:= Dérivée fx
    gx=-16xe-2x+6+4x2e-2x+6+14e-2x+6
     L3 Factoriser gx
    2e-2x+62x2-8x+7
     L4 Résoudre gx=0
    x=-2+42x=2+42
     L5 Fx:= Primitive fx
    Fx=14-2x2+2x-1e-2x+6
    1. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est concave.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde définie pour tout réel x de l'intervalle 0,76 par fx=2e-2x+62x2-8x+7. (Ligne 3 du tableau)

      Comme pour tout réel x, e-2x+6>0 alors fx est du même signe que le trinôme 2x2-8x+7.

      Les racines du trinôme étant données dans la ligne 4 du tableau, nous pouvons en déduire le signe de fx :

      x0,7-2+422+426
      fx+0||0||+

      La fonction f est concave sur l'intervalle -2+422+42.


    2. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ? Si oui, en donner l'abscisse.

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour x1=-2+42 et x2=2+42.

      La courbe représentative de la fonction f admet deux points d'inflexion d'abscisses respectives x1=-2+42 et x2=2+42.


    3. On pose I=35fxdx. Calculer la valeur exacte de I puis la valeur arrondie à 10-1.

      La fonction F définie sur l'intervalle 0,76 par Fx=14-2x2+2x-1e-2x+6 est une primitive de la fonction f. (Ligne 5 du tableau)

      On en déduit : I=35fxdx=F5-F3=14×-50+10-1×e-10+6-14×-18+6-1×e-6+6=-41e-44+134

      I=35fxdx=13-41e-443,1.



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