sujet : Amérique du Nord 2017

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,7};6\right]$ ; on suppose que f est dérivable.

partie a : Étude graphique

On a représenté la fonction f sur le graphique ci-dessous.

1. La tangente au point d'abscisse 3 à la courbe représentative de f passe par les points $A\left(3;4\right)$ et $A\left(4;0\right)$. Déterminer $f\prime \left(3\right)$.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(3\right)$ est égal au coefficient directeur de la droite (AB) tangente à la courbe représentative de de la fonction f au point A d'abscisse 3 :$$\begin{array}{ccc}f\prime \left(3\right)={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{soit}& f\prime \left(3\right)={\displaystyle \frac{0-4}{4-3}}=-4\end{array}$$

   $f\prime \left(3\right)=-4$.

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2. D'après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de $f\prime$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,7};6\right]$.

   Avec la précision permise par le graphique, la fonction f est décroissante sur les intervalles $\left[\mathrm{0,7};1\right]$ et $\left[2;6\right]$ et, croissante sur l'intervalle $\left[1;2\right]$. Nous pouvons en déduire le signe de $f\prime$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,7};6\right]$ :

   x	0,7		1		2		6
   $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

partie b : Étude théorique

On admet que la fonction f est définie par $f\left(x\right)=\left(x^2-2x+1\right){\mathrm{e}}^{-2x+6}$.

1. Montrer que $f\prime \left(x\right)=\left(-2x^2+6x-4\right){\mathrm{e}}^{-2x+6}$, où $f\prime$ désigne la fonction dérivée de la fonction f.

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,7};6\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=x^2-2x+1& \text{;}& u\prime \left(x\right)=2x-2\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-2x+6}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-2{\mathrm{e}}^{-2x+6}\end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,7};6\right]$, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& \left(2x-2\right){\mathrm{e}}^{-2x+6}+\left(x^2-2x+1\right)\times \left(-2{\mathrm{e}}^{-2x+6}\right)\\ & =& \left[\left(2x-2\right)-2\left(x^2-2x+1\right)\right]\times {\mathrm{e}}^{-2x+6}\\ & =& \left(-2x^2+6x-4\right){\mathrm{e}}^{-2x+6}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,7};6\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(-2x^2+6x-4\right){\mathrm{e}}^{-2x+6}$.

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2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,7};6\right]$ et dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,7};6\right]$.
   On ne demande pas de calculer les ordonnées.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-2x+6}>0$ donc sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,7};6\right]$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $-2x^2+6x-4$ avec $a=-2$, $b=6$ et $c=-4$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=36-4\times \left(-2\right)\times \left(-4\right)=4\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-6-2}{-4}}=2\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-6+2}{-4}}=1\end{array}$$

   Comme $a<0$, le tableau du signe du trinôme $-2x^2+6x-4$ est :

   x	$-\infty$		1		2		$-\infty$
   $-2x^2+6x-4$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   Nous pouvons en déduire le signe de $f\prime \left(x\right)$ ainsi que les variations de la fonction f :

   x	0,7		1		2		6
   $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$

3. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.

   L1	$f\prime \left(x\right):=\left(-2x˄2+6x-4\right)*\mathrm{e}˄\left(-2x+6\right)$ $\to f\prime \left(x\right)=\left(-2x^2+6x-4\right){\mathrm{e}}^{-2x+6}$
   L2	$g\left(x\right):=$ Dérivée $\left[f\prime \left(x\right)\right]$ $\to g\left(x\right)=-16x{\mathrm{e}}^{-2x+6}+4x^2{\mathrm{e}}^{-2x+6}+14{\mathrm{e}}^{-2x+6}$
   L3	Factoriser $\left[g\left(x\right)\right]$ $\to 2{\mathrm{e}}^{-2x+6}\left(2x^2-8x+7\right)$
   L4	Résoudre $\left[g\left(x\right)=0\right]$ $\to \left\{x={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}+4}{2}};x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+4}{2}}\right\}$
   L5	$F\left(x\right):=$ Primitive $\left[f\left(x\right)\right]$ $\to F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(-2x^2+2x-1\right){\mathrm{e}}^{-2x+6}$

   1. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est concave.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,7};6\right]$ par $f″\left(x\right)=2{\mathrm{e}}^{-2x+6}\left(2x^2-8x+7\right)$. (Ligne 3 du tableau)

      Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-2x+6}>0$ alors $f″\left(x\right)$ est du même signe que le trinôme $2x^2-8x+7$.

      Les racines du trinôme étant données dans la ligne 4 du tableau, nous pouvons en déduire le signe de $f″\left(x\right)$ :

      x	0,7		${\displaystyle \frac{-\sqrt{2}+4}{2}}$		${\displaystyle \frac{\sqrt{2}+4}{2}}$		6
      $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

      La fonction f est concave sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{-\sqrt{2}+4}{2}};{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+4}{2}}\right]$.

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   2. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ? Si oui, en donner l'abscisse.

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x_1={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}+4}{2}}$ et $x_2={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+4}{2}}$.

      La courbe représentative de la fonction f admet deux points d'inflexion d'abscisses respectives $x_1={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}+4}{2}}$ et $x_2={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+4}{2}}$.

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   3. On pose $I={\displaystyle {\int }_3^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. Calculer la valeur exacte de I puis la valeur arrondie à ${10}^{-1}$.

      La fonction F définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,7};6\right]$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(-2x^2+2x-1\right){\mathrm{e}}^{-2x+6}$ est une primitive de la fonction f. (Ligne 5 du tableau)

      On en déduit : $$\begin{array}{rcl}I={\displaystyle {\int }_3^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(5\right)-F\left(3\right)\\ & =& \left({\displaystyle \frac{1}{4}}\times \left(-50+10-1\right)\times {\mathrm{e}}^{-10+6}\right)-\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\times \left(-18+6-1\right)\times {\mathrm{e}}^{-6+6}\right)\\ & =& -{\displaystyle \frac{41{\mathrm{e}}^{-4}}{4}}+{\displaystyle \frac{13}{4}}\end{array}$$

      $I={\displaystyle {\int }_3^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{13-41{\mathrm{e}}^{-4}}{4}}\approx \mathrm{3,1}$.

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