Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Nord 2017

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie sur l'intervalle [0,7;6] ; on suppose que f est dérivable.

partie a : Étude graphique

On a représenté la fonction f sur le graphique ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. La tangente au point d'abscisse 3 à la courbe représentative de f passe par les points A(3;4) et B(4;0). Déterminer f(3).

    Le nombre dérivé f(3) est égal au coefficient directeur de la droite (AB) tangente à la courbe représentative de de la fonction f au point A d'abscisse 3 :f(3)=yB-yAxB-xAsoitf(3)=0-44-3=-4

    f(3)=-4.


  2. D'après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de f sur l'intervalle [0,7;6].

    Avec la précision permise par le graphique, la fonction f est décroissante sur les intervalles [0,7;1] et [2;6] et, croissante sur l'intervalle [1;2]. Nous pouvons en déduire le signe de f sur l'intervalle [0,7;6] :

    x0,7126
    f(x)0||+0||

partie b : Étude théorique

On admet que la fonction f est définie par f(x)=(x2-2x+1)e-2x+6.

  1. Montrer que f(x)=(-2x2+6x-4)e-2x+6, où f désigne la fonction dérivée de la fonction f.

    La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle [0,7;6] : {u(x)=x2-2x+1;u(x)=2x-2v(x)=e-2x+6;v(x)=-2e-2x+6

    Soit pour tout réel x de l'intervalle [0,7;6], f(x)=(2x-2)e-2x+6+(x2-2x+1)×(-2e-2x+6)=[(2x-2)-2(x2-2x+1)]×e-2x+6=(-2x2+6x-4)e-2x+6

    Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [0,7;6] par f(x)=(-2x2+6x-4)e-2x+6.


  2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0,7;6] et dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0,7;6].
    On ne demande pas de calculer les ordonnées.

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

    Pour tout réel x, e-2x+6>0 donc sur l'intervalle [0,7;6], f(x) est du même signe que le polynôme du second degré -2x2+6x-4 avec a=-2, b=6 et c=-4.

    Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où : Δ=36-4×(-2)×(-4)=4

    Δ>0 donc le polynôme a deux racines : x1=-b-Δ2aSoitx1=-6-2-4=2etx2=-b+Δ2aSoitx2=-6+2-4=1

    Comme a<0, le tableau du signe du trinôme -2x2+6x-4 est :

    x-12-
    -2x2+6x-40||+0||

    Nous pouvons en déduire le signe de f(x) ainsi que les variations de la fonction f :

    x0,7126
    f(x)0||+0||
    f(x)fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.

     L1 f(x):=(-2x˄2+6x-4)*e˄(-2x+6)
    f(x)=(-2x2+6x-4)e-2x+6
     L2 g(x):= Dérivée [f(x)]
    g(x)=-16xe-2x+6+4x2e-2x+6+14e-2x+6
     L3 Factoriser [g(x)]
    2e-2x+6(2x2-8x+7)
     L4 Résoudre [g(x)=0]
    {x=-2+42;x=2+42}
     L5 F(x):= Primitive [f(x)]
    F(x)=14(-2x2+2x-1)e-2x+6
    1. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est concave.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde définie pour tout réel x de l'intervalle [0,7;6] par f(x)=2e-2x+6(2x2-8x+7). (Ligne 3 du tableau)

      Comme pour tout réel x, e-2x+6>0 alors f(x) est du même signe que le trinôme 2x2-8x+7.

      Les racines du trinôme étant données dans la ligne 4 du tableau, nous pouvons en déduire le signe de f(x) :

      x0,7-2+422+426
      f(x)+0||0||+

      La fonction f est concave sur l'intervalle [-2+42;2+42].


    2. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ? Si oui, en donner l'abscisse.

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour x1=-2+42 et x2=2+42.

      La courbe représentative de la fonction f admet deux points d'inflexion d'abscisses respectives x1=-2+42 et x2=2+42.


    3. On pose I=35f(x)dx. Calculer la valeur exacte de I puis la valeur arrondie à 10-1.

      La fonction F définie sur l'intervalle [0,7;6] par F(x)=14(-2x2+2x-1)e-2x+6 est une primitive de la fonction f. (Ligne 5 du tableau)

      On en déduit : I=35f(x)dx=F(5)-F(3)=(14×(-50+10-1)×e-10+6)-(14×(-18+6-1)×e-6+6)=-41e-44+134

      I=35f(x)dx=13-41e-443,1.



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