Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Amérique du Nord 2017

correction de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

D'après l'AFDIAG (Association Française Des Intolérants au Gluten), la maladie cœliaque, aussi appelée intolérance au gluten, est une des maladies digestives les plus fréquentes. Elle touche environ 1 % de la population.
On estime que seulement 20 % des personnes intolérantes au gluten passent le test pour être diagnostiquées.
On considère que si une personne n'est pas intolérante au gluten, elle ne passe pas le test pour être diagnostiquée.
On choisit au hasard une personne dans la population française qui compte environ 66,6 millions d'habitants au 1er janvier 2016.

On considère les évènements :

  • I : « la personne choisie est intolérante au gluten » ;
  • T : « la personne choisie passe le test pour être diagnostiquée ».

partie a

  1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :

    • L'intolérance au gluten touche environ 1 % de la population d'où pI=0,01 et pI¯=1-0,01=0,99.
    • 20 % des personnes intolérantes au gluten passent le test d'où pIT=0,2 et pIT¯=1-0,2=0,8.

    L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

    Arbre de probabilités : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée.

    pIT¯=pIT¯×pIsoitpIT¯=0,8×0,01=0,008

    La probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée est égale à 0,008.


  3. Montrer que pT=0,002.

    Si une personne n'est pas intolérante au gluten, elle ne passe pas le test pour être diagnostiquée et, seulement 20 % des personnes intolérantes au gluten passent le test. D'où :pT=pIT=pIT×pIsoitpT=0,2×0,01=0,002

    Ainsi, la probabilité que la personne choisie passe le test pour être diagnostiquée est égale à 0,002.


partie b

L'AFDIAG a fait une enquête et a constaté que la maladie cœliaque était diagnostiquée en moyenne 11 ans après les premiers symptômes.
On note X la variable aléatoire représentant le temps en années mis pour diagnostiquer la maladie cœliaque à partir de l'apparition des premiers symptômes.
On admet que la loi de X peut être assimilée à la loi normale d'espérance μ=11 et d'écart-type σ=4.

  1. Calculer la probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre 9 ans et 13 ans après les premiers symptômes. Arrondir le résultat à 10-3.

    D'après la calculatrice, p9X130,383

    La probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre 9 ans et 13 ans après les premiers symptômes est 0,383.


  2. Calculer pX6. Arrondir le résultat à 10-3.

    Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou pX6=pX11-p6X11=0,5-p6X110,106

    La probabilité que la maladie soit diagnostiquée moins de 6 ans après les premiers symptômes est 0,106.


  3. Sachant que pXa=0,84, donner la valeur de a arrondie à l'unité. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

    À l'aide de la calculatrice, on trouve pXa=0,84 pour a15.

    La maladie cœliaque est diagnostiquée moins de 15 ans après les premiers symptômes pour 84 % des personnes intolérantes au gluten.


  4. Laquelle de ces trois courbes représente la fonction de densité de la loi normale d'espérance μ=11 et d'écart-type σ=4 ? Justifier le choix. On pourra s'aider des réponses aux questions précédentes.

    • L'espérance μ=11 donc la courbe admet la droite déquation x=11 comme axe de symétrie donc la courbe 1 ne convient pas.

    • L'aire d'un carreau du quadrillage correspond à une probabilité égale à 0,02. Or p9X130,383 et l'aire du domaine délimité par la courbe 3, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=9 et x=13 est inférieure à 0,24 donc la courbe 3 ne convient pas.

    Loi normale courbes : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    La courbe 2 est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction de densité de la loi normale d'espérance μ=11 et d'écart-type σ=4.



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