Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Amérique du Nord 2017

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Une grande université, en pleine croissance d'effectifs, accueillait 27 500 étudiants en septembre 2016.
Le président de l'université est inquiet car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et une répartition des étudiants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir plus de 33 000 étudiants.

Une étude statistique lui permet d'élaborer un modèle de prévisions selon lequel, chaque année :

  • 150 étudiants démissionnent en cours d'année universitaire (entre le 1 er septembre et le 30 juin) ;
  • les effectifs constatés à la rentrée de septembre connaissent une augmentation de 4 % par rapport à ceux du mois de juin qui précède.

Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d'étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée de septembre 2016+n on a donc u0=27 500.

    1. Estimer le nombre d'étudiants en juin 2017.

      150 étudiants démissionnent en cours d'année universitaire par conséquent, le nombre d'étudiants en juin 2017 est :27500-150=27350

      L'effectif en juin 2017 est de 27 350 étudiants.


    2. Estimer le nombre d'étudiants à la rentrée de septembre 2017.

      Les effectifs constatés à la rentrée de septembre connaissent une augmentation de 4 % par rapport à ceux du mois de juin d'où 27350×1,04=28444

      L'effectif à la rentrée de septembre 2017 est de 28 444 étudiants.


  1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a un+1=1,04un-156.

    Soit un le nombre d'étudiants à la rentrée de septembre 2016+n, le nombre d'étudiants à la rentrée de septembre de l'année suivante s'obtient à l'aide du montage suivant : un-150  étudiants qui démissionnent un-150  mois de juin ×1,04 ( augmentation de 4 % ) un-150×1,04un+1

    Pour tout entier naturel n, on a :un+1=un-150×1,04=1,04un-156

    Ainsi, pour tout entier naturel n, on a un+1=1,04un-156.


  2. Recopier et compléter les lignes L3, L4 et L5 de l'algorithme suivant afin qu'il calcule le nombre d'années à partir duquel le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l'établissement.

    L1n0
    L2U27 500
    L3Tant que U33 000
    L4nn+1
    L5U1,04×U-156
    L6Fin Tant que
    1. On fait fonctionner cet algorithme pas à pas.
      Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes ; on arrondira les valeurs de U à l'unité.

      InitialisationÉtape 1Étape 2Étape 3Étape 4Étape 5Étape 6
      Valeur de n 0123456
      Valeur de U 27 500284442942630447315093261333762
    2. Donner la valeur de n calculée par cet algorithme.

      n=6. En 2022, le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l'établissement.


  3. On cherche à calculer explicitement le terme général un en fonction de n.
    Pour cela, on note vn la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn=un-3 900.

    1. Montrer que vn est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-3900=1,04un-156-3900=1,04un-4056=1,04×un-3900=1,04vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=1,04vn donc vn est une suite géométrique de raison 1,04 dont le premier terme v0=27500-3900=23600.


    2. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=23600×1,04n+3900.

      vn est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme v0=23600 donc pour tout entier naturel n, on a :vn=23600×1,04n

      Comme pour tout entier naturel n, vn=un-3900un=vn+3900 on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, un=23600×1,04n+3900.


    3. Déterminer la limite de la suite un et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

      1,04>1 donc limn+1,04n=+ d'où, limn+23600×1,04n+3900=+. Soit limn+un=+.

      La limite de la suite un est égale à + donc l'effectif de l'université finira par dépasser n'importe quel nombre aussi grand soit-il.



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