Une grande université, en pleine croissance d'effectifs, accueillait 27 500 étudiants en septembre 2016.
Le président de l'université est inquiet car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et une répartition des étudiants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir plus de 33 000 étudiants.
Une étude statistique lui permet d'élaborer un modèle de prévisions selon lequel, chaque année :
Pour tout entier naturel n, on note le nombre d'étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée de septembre on a donc .
Estimer le nombre d'étudiants en juin 2017.
150 étudiants démissionnent en cours d'année universitaire par conséquent, le nombre d'étudiants en juin 2017 est :
L'effectif en juin 2017 est de 27 350 étudiants.
Estimer le nombre d'étudiants à la rentrée de septembre 2017.
Les effectifs constatés à la rentrée de septembre connaissent une augmentation de 4 % par rapport à ceux du mois de juin d'où
L'effectif à la rentrée de septembre 2017 est de 28 444 étudiants.
Justifier que, pour tout entier naturel n, on a .
Soit le nombre d'étudiants à la rentrée de septembre , le nombre d'étudiants à la rentrée de septembre de l'année suivante s'obtient à l'aide du montage suivant :
Pour tout entier naturel n, on a :
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a .
Recopier et compléter les lignes L3, L4 et L5 de l'algorithme suivant afin qu'il calcule le nombre d'années à partir duquel le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l'établissement.
L1 | |
L2 | |
L3 | Tant que |
L4 | |
L5 | |
L6 | Fin Tant que |
On fait fonctionner cet algorithme pas à pas.
Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes ; on arrondira les valeurs de U à l'unité.
Initialisation | Étape 1 | Étape 2 | Étape 3 | Étape 4 | Étape 5 | Étape 6 | |
Valeur de n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Valeur de U | 27 500 | 28444 | 29426 | 30447 | 31509 | 32613 | 33762 |
Donner la valeur de n calculée par cet algorithme.
. En 2022, le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l'établissement.
On cherche à calculer explicitement le terme général en fonction de n.
Pour cela, on note la suite définie, pour tout entier naturel n, par .
Montrer que est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Pour tout entier n,
Ainsi, pour tout entier naturel n, donc est une suite géométrique de raison 1,04 dont le premier terme .
En déduire que, pour tout entier naturel n, .
est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme donc pour tout entier naturel n, on a :
Comme pour tout entier naturel n, on en déduit que :
pour tout entier naturel n, .
Déterminer la limite de la suite et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
donc d'où, . Soit .
La limite de la suite est égale à donc l'effectif de l'université finira par dépasser n'importe quel nombre aussi grand soit-il.
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