sujet : Amérique du Sud 2017

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

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1. Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=11+5\ln \left(x\right)$.
   Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est :

   La dérivée de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{5}{\mathrm{<mi>x</mi>}}}$.

   Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est :$$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

   Or $f\left(1\right)=11$ et $f\prime \left(1\right)=5$. La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 a pour équation $$\begin{array}{ccc}y=5\times \left(x-1\right)+11& \iff & y=5x+6\end{array}$$

   a. $y=5x+11$

   b. $y=5x+6$

   c. $y=11x-6$

   d. $y=5x+16$

2. Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=11+5\ln \left(x\right)$.
   L'équation $f\left(x\right)=0$ d'inconnue x a pour solution :

   pour tout réel x strictement positif :$$\begin{array}{rcl}11+5\ln \left(x\right)=0& \iff & \ln \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{11}{5}}\\ & \iff & x={\mathrm{e}}^{-\frac{11}{5}}\end{array}$$

   a. $-{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{11}}{5}}$

   b. $-\ln \left({\displaystyle \frac{11}{5}}\right)$

   c. ${\mathrm{e}}^{-\frac{11}{5}}$

   d. $-{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-11}}{5}}$

3. On lance cinq fois de suite un dé équilibré à six faces. On note X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de 6 qu'on obtient.
   La probabilité $p\left(X=1\right)$ d'obtenir exactement un 6, arrondie à ${10}^{-2}$, est :

   X suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p={\displaystyle \frac{1}{6}}$. À l'aide de la calculatrice, on obtient que $p\left(X=1\right)\approx \mathrm{0,40}$.

   a. 0,08

   b. 0,17

   c. 0,40

   d. 0,80

4. On considère une variable aléatoire T qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[2;7\right]$. La fonction de densité de T est représentée ci-dessous.

   La probabilité conditionnelle $P_{\left(T⩾3\right)}\left(T⩽5\right)$ est égale à :

   $$P_{\left(T⩾3\right)}\left(T⩽5\right)={\displaystyle \frac{P\left(3⩽T⩽5\right)}{P\left(T⩾3\right)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{7}}}{{\displaystyle \frac{4}{7}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

   a. ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

   b. ${\displaystyle \frac{3}{5}}$

   c. ${\displaystyle \frac{2}{5}}$

   d. ${\displaystyle \frac{3}{4}}$

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