sujet : Amérique du Sud 2017

Corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

On suppose que la fonction f est définie sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ par $f\left(x\right)=\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{-2x}$ où a et b sont deux réels à déterminer.

1. En utilisant le graphique et les données de l'énoncé, déterminer $f\left(0\right)$ et $f\prime \left(\mathrm{0,25}\right)$.

   • Le point $A\left(0;1\right)$ appartient à la courbe ${𝒞}_f$ d'où $f\left(0\right)=1$

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   • La tangente à ${𝒞}_f$ au point B d'abscisse 0,25 est parallèle à l'axe des abscisses d'où $f\prime \left(\mathrm{0,25}\right)=0$

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2. Déterminer l'expression de $f\prime \left(x\right)$ en fonction de a et b.

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=ax+b& \text{;}& u\prime \left(x\right)=a\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-2x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-2{\mathrm{e}}^{-2x}\end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;2\right]$, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& a{\mathrm{e}}^{-2x}-2\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{-2x}\\ & =& \left(a-2ax-2b\right){\mathrm{e}}^{-2x}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;2\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(-2ax+a-2b\right){\mathrm{e}}^{-2x}$

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3. Déduire des deux questions précédentes les valeurs des réels a et b.

   • $f\left(0\right)=1$ d'où $b=1$

   • $f\prime \left(\mathrm{0,25}\right)=0$ d'où $\left(-2a\times \mathrm{0,25}+a-2b\right)=0$. Soit $$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,5}a-2=0& \iff & a=4\end{array}$$

   f est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ par $f\left(x\right)=\left(4x+1\right){\mathrm{e}}^{-2x}$.

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partie b

On admet que la fonction f est définie sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ par $f\left(x\right)=\left(4x+1\right){\mathrm{e}}^{-2x}$.
On admet par ailleurs que $f\prime \left(x\right)=\left(4-8x\right){\mathrm{e}}^{-2x}$ et $f″\left(x\right)=\left(16x-12\right){\mathrm{e}}^{-2x}$ où $f″$ désigne la dérivée seconde de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

1. Étudier le signe de $f\prime$ sur $\left[0;2\right]$ puis en déduire les variations de f sur $\left[0;2\right]$.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-2x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(4-8x\right)$. Or $$\begin{array}{rcl}4-8x⩽0& \iff & x⩾{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. Nous pouvons établir le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ et des variations de la fonction f :

   x	0		0,25		2
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	1		$2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}$		$9{\mathrm{e}}^{-4}$

2. Montrer que la courbe ${𝒞}_f$ admet, sur l'intervalle $\left[0;2\right]$, un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$.

   Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-2x}>0$, donc $f″\left(x\right)$ est du même signe que $\left(16x-12\right)$. Or $$\begin{array}{rcl}16x-12⩽0& \iff & x⩽{\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$$ nous pouvons en déduire le tableau du signe de $f″\left(x\right)$ :

   x	0		0,75		2
   $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

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   La fonction f est concave sur l'intervalle $\left[0;{\displaystyle \frac{3}{4}}\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{3}{4}};2\right]$.

   La fonction f change de convexité en 0,75 donc le point d'abscisse 0,75 est un point d'inflexion de la courbe ${𝒞}_f$.

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3. Soit F la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-2x-\mathrm{1,5}\right){\mathrm{e}}^{-2x}$.

   1. Montrer que F est une primitive de la fonction f sur $\left[0;2\right]$.

      F est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $F=uv$ d'où $F\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;2\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=-2x-\mathrm{1,5}& \text{;}& u\prime \left(x\right)=-2\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-2x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-2{\mathrm{e}}^{-2x}\end{array}$

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;2\right]$, $$\begin{array}{rcl}F\prime \left(x\right)& =& -2{\mathrm{e}}^{-2x}-2\left(-2x-\mathrm{1,5}\right){\mathrm{e}}^{-2x}\\ & =& -2{\mathrm{e}}^{-2x}+4x{\mathrm{e}}^{-2x}+3{\mathrm{e}}^{-2x}\\ & =& \left(4x+1\right){\mathrm{e}}^{-2x}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;2\right]$ on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de f sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

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   2. En déduire l'aire exacte 𝒜, en unité d'aire, du domaine D du plan situé entre ${𝒞}_f$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=2$.

      D'après le tableau des variations de la fonction, la fonction f est positive sur l'intervalle $\left[0;2\right]$. Par conséquent, l'aire, en unités d'aire, du domaine D du plan situé entre ${𝒞}_f$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=2$ est égale à l'intégrale de la fonction f entre 0 et 2 :

      $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(2\right)-F\left(0\right)\\ & =& \left(-\mathrm{5,5}\times {\mathrm{e}}^{-4}\right)-\left(-\mathrm{1,5}\times {\mathrm{e}}^0\right)\\ & =& \mathrm{1,5}-\mathrm{5,5}\times {\mathrm{e}}^{-4}\end{array}$$

      L'aire du domaine D du plan situé entre ${𝒞}_f$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=2$ est égale à $\left(\mathrm{1,5}-\mathrm{5,5}\times {\mathrm{e}}^{-4}\right)$ unités d'aire.

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   3. Déterminer la valeur moyenne, arrondie à ${10}^{-1}$, de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ est :$${\displaystyle \frac{1}{2-0}}\times {\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}-\mathrm{5,5}\times {\mathrm{e}}^{-4}}{2}}\approx \mathrm{0,7}$$

      La valeur moyenne, arrondie à ${10}^{-1}$, de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ est 0,7.

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