sujet : Amérique du Sud 2017

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une entreprise d'élevage de poissons en bassin a constaté qu'une partie de sa production est infectée par une nouvelle bactérie.
Un laboratoire a réalisé deux prélèvements, l'un au mois de janvier et l'autre au mois de juin, afin d'étudier l'évolution de l'infection.

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

1. Déterminer les intervalles de confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion $p_1$ puis de la proportion $p_2$.
   On arrondira les bornes des intervalles à ${10}^{-3}$.

   • Intervalle de confiance de la proportion $p_1$.

     On a $n=1000⩾30$, $n{f}_1=1000\times \mathrm{0,05}=50⩾5$ et $n\left(1-f_1\right)=1000\times \mathrm{0,95}=950⩾5$. Les conditions d'approximation sont vérifiées.

     Un intervalle de confiance de la proportion $p_1$ de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de janvier est $$\left[\mathrm{0,05}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1000}}};\mathrm{0,05}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1000}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,018};\mathrm{0,082}\right]$$

     Un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion $p_1$ est $I_1=\left[\mathrm{0,018};\mathrm{0,082}\right]$.

     ---

   • Intervalle de confiance de la proportion $p_2$.

     On a $n=1000⩾30$, $n{f}_2=1000\times \mathrm{0,1}=100⩾5$ et $n\left(1-f_2\right)=1000\times \mathrm{0,9}=900⩾5$. Les conditions d'approximation sont vérifiées.

     Un intervalle de confiance de la proportion $p_2$ de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de juin est $$\left[\mathrm{0,1}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1000}}};\mathrm{0,1}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1000}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,068};\mathrm{0,132}\right]$$

     Un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion $p_2$ est $I_2=\left[\mathrm{0,068};\mathrm{0,132}\right]$.

     ---

2. Quel argument pourrait donner l'entreprise pour éviter l'arrêt de la vente ?

   $$I_1\cap I_2=\left[\mathrm{0,068};\mathrm{0,082}\right]$$

   Les deux intervalles de confiance ne sont pas disjoints, on ne peut pas affirmer qu'il y a eu une augmentation de la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin entre janvier et juin.

   ---

partie b

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré traduisant cette situation.

   • Sur des poissons infectés par la bactérie, le test est positif dans 60 % des cas d'où $p_B\left(T\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_B\left(\overline{T}\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$.
   • Sur des poissons non infectés par la bactérie, le test est positif dans 10 % des cas d'où $p_{\overline{B}}\left(T\right)=\mathrm{0,1}$ et $p_{\overline{B}}\left(\overline{T}\right)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. 1. Démontrer que $p\left(T\right)=\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,1}$.

      D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(T\right)=p\left(T\cap B\right)+p\left(T\cap \overline{B}\right)$$

      Or $$\begin{array}{rrcl}& p\left(T\cap B\right)=p_B\left(T\right)\times p\left(B\right)& \text{soit}& p\left(T\cap B\right)=\mathrm{0,6}x\\ \text{et}& p\left(T\cap \overline{B}\right)=p_{\overline{B}}\left(T\right)\times p\left(\overline{B}\right)& \text{soit}& p\left(T\cap \overline{B}\right)=\mathrm{0,1}\times \left(1-x\right)=\mathrm{0,1}-\mathrm{0,1}x\end{array}$$

      Ainsi, $$p\left(T\right)=\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,1}-\mathrm{0,1}x=\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,1}$$

      La probabilité qu'un test soit positif est $p\left(T\right)=\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,1}$.

      ---

   2. Le laboratoire a constaté que 12,5 % des poissons d'un prélèvement ont eu un test positif.
      Quelle estimation de la proportion de poissons infectés le laboratoire va-t-il proposer pour ce prélèvement ?

      La proportion x de poissons infectés est solution de l'équation :$$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,1}=\mathrm{0,125}& \iff & x=\mathrm{0,05}\end{array}$$

      Le laboratoire va estimer que 5 % des poissons sont infectés par la bactérie.

      ---

partie c

Un traitement antibiotique permet de guérir les poissons infectés par la bactérie.
Le temps de guérison d'un poisson infecté, exprimé en jours, peut être modélisé par une variable aléatoire X suivant la loi normale de moyenne $\mu =21$ et d'écart-type $\sigma =5$.
Les résultats seront arrondis au millième.

1. Déterminer la probabilité $p\left(14<X<28\right)$.

   À l'aide de la calculatrice, on a $p\left(14<X<28\right)\approx \mathrm{0,838}$.

   ---

2. Déterminer la probabilité qu'un poisson infecté ne soit pas encore guéri après 5 semaines de traitement antibiotique.

   $$\begin{array}{rcl}p\left(X>5\times 7\right)& =& p\left(X⩾21\right)-p\left(21⩽X⩽35\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-p\left(21⩽X⩽35\right)\approx \mathrm{0,003}\end{array}$$

   La probabilité qu'un poisson infecté par la bactérie ne soit pas encore guéri après 5 semaines de traitement antibiotique est 0,003.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.