Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Sud 2017

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

Pour les déplacements entre les principales villes d'une région, les habitants peuvent acquérir soit la carte d'abonnement bus (PassBus), soit la carte d'abonnement train (PassTrain), toutes les deux étant valables un an.
Une étude récente montre que le nombre global d'abonnements reste constant dans le temps et que, chaque année, la répartition des abonnements évolue de la manière suivante :

10 % des abonnements PassBus sont remplacés par des abonnements PassTrain ;
15 % des abonnements PassTrain sont remplacés par des abonnements PassBus.

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets B et T où le sommet B représente l'état « abonné PassBus » et T l'état « abonné PassTrain ».
L'étude montre que chaque année :
- 10 % des abonnements PassBus sont remplacés par des abonnements PassTrain d'où $p_{B_{n}} (T_{n + 1}) = 0,1$ et $p_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 1 - 0,1 = 0,9$ .
- 15 % des abonnements PassTrain sont remplacés par des abonnements PassBus d'où $p_{T_{n}} (B_{n + 1}) = 0,15$ et $p_{T_{n}} (T_{n + 1}) = 1 - 0,15 = 0,85$ .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
Déterminer la matrice de transition de ce graphe en respectant l'ordre B, T des sommets.
Notons $P_{n} = (\begin{matrix} b_{n} & t_{n} \end{matrix})$ la matrice ligne décrivant l'état probabiliste à l'étape n du système, où $b_{n}$ et $t_{n}$ sont respectivement les probabilités qu'un usager pris au hasard a un abonnement PassBus ou PassTrain.
La matrice de transition de ce graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ est : $M = (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{matrix})$ .
En 2016, les abonnements PassBus représentaient 25 % de l'ensemble des abonnements, tandis que les abonnements PassTrain en représentaient 75 %.
Quelle sera la part, en 2019, des abonnements PassBus dans l'ensemble des abonnements ? Donner le résultat en pourcentage arrondi à 0,1 %.
Soit $P_{0} = (\begin{matrix} 0,25 & 0,75 \end{matrix})$ l'état probabiliste initial en 2016. L'état probabiliste en 2019 est $P_{3} = P_{0} \times M^{3}$ soit : $\begin{matrix} P_{3} & = & (\begin{matrix} 0,25 & 0,75 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,95 \end{matrix})}^{3} & \approx & (\begin{matrix} 0,452 & 0,548 \end{matrix}) \end{matrix}$
En 2019, les abonnements PassBus représenteront environ 45,2 % de l'ensemble des abonnements.
Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état probabiliste converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} x & y \end{matrix})$ avec $x + y = 1$ et vérifiant : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} x & y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x & y \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} x & y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,9 x + 0,15 y & 0,1 x + 0,85 y \end{matrix}) \\ soit & {\begin{matrix} x = 0,9 x + 0,15 y \\ y = 0,1 x + 0,85 y \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 0,1 x - 0,15 y = 0 \\ - 0,1 x + 0,15 y = 0 \end{matrix} \end{array}$
D'où x et y vérifient la relation $0,1 x - 0,15 y = 0$ . Comme d'autre part, $x + y = 1$ on en déduit que x et y sont solutions du système : $\begin{array}{rcl} {\begin{array}{lcr} 0,1 x - 0,15 y & = & 0 \\ x + y & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{lcl} 0,25 x & = & 0,15 \\ x + y & = & 1 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x = \frac{3}{5} \\ y = \frac{2}{5} \end{matrix} \end{array}$
L'état stable du système est $P = (\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \end{matrix})$ . À partir d'un certain nombre d'années, la répartition des abonnements sera chaque année, de 60 % pour la carte PassBus et 40 % pour la carte PassTrain.

partie b

Le réseau ferroviaire de la région est schématisé par le graphe ci-dessous.
Les sommets représentent les villes et les arêtes représentent les voies ferrées.
Sur les arêtes du graphe sont indiquées les distances exprimées en kilomètre entre les villes de la région.
Déterminer, en utilisant l'algorithme de Dijkstra, le trajet le plus court pour aller de la ville A à la ville H. Préciser la longueur en kilomètre de ce trajet.

A	B	C	D	E	F	G	H	Sommet sélectionné
0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	A (0)
	20 (A)	28 (A)	∞	∞	80 (A)	∞	∞	B (20)
		28 (A)	102 (B)	98 (B)	80 (A) 74 (B)	∞	∞	C (28)
			102 (B)	98 (B)	74 (B)	∞	∞	F (74)
			102 (B)	98 (B) 94 (F)		114 (F)	∞	E (94)
			102 (B)			114 (F) 110 (E)	∞	D (102)
						110 (E)	138 (D)	G (110)
							138 (D) 134 (G)	H (134)

Le sommet H étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de H et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $H \leftarrow G \leftarrow E \leftarrow F \leftarrow B \leftarrow A$ .

Le trajet le plus court pour aller de la ville A à la ville H est A - B - F - E - G - H. La longueur du trajet est de 134 kilomètres.

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