La courbe 𝒞 ci-dessous est la courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur l'intervalle . On note la fonction dérivée de f , et sa dérivée seconde.
La tangente à la courbe 𝒞 au point A d'abscisse est parallèle à l'axe des abscisses.
Le domaine S grisé sur la figure est le domaine compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses, la droite d'équation et la droite d'équation .
Déterminer, en la justifiant, la valeur de .
La tangente à la courbe 𝒞 au point A d'abscisse est parallèle à l'axe des abscisses donc .
Par une lecture graphique, quel semble être le signe de ?
D'après la courbe 𝒞 la fonction f est décroissante sur l'intervalle donc .
Déterminer, par une lecture graphique, un encadrement par deux entiers consécutifs de l'aire du domaine S grisé sur la figure.
L'aire du domaine S grisé sur la figure est comprise entre 3 et 4 unités d'aire.
La fonction f précédente est définie sur l'intervalle par .
Montrer que .
f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x de l'intervalle : .
Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi, est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par .
Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Pour tout réel x, donc est du même signe que sur l'intervalle .
Comme pour tout réel x, , on en déduit le tableau établissant le signe de ainsi que les variations de la fonction f :
| x | 10 | ||||
| + | − | ||||
0 |
Montrer que sur l'intervalle l'équation admet une unique solution.
On notera α cette unique solution.
Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante avec et soit alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
sur l'intervalle , l'équation admet une unique solution α.
Donner une valeur approchée à de α.
À l'aide de la calculatrice, on trouve .
On admet que la dérivée seconde de f est définie par .
Étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle .
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde . Comme pour tout réel x, On en déduit le tableau du signe de la dérivée seconde :
| x | 0 | 10 | |||
| − | + |
La fonction f est concave sur l'intervalle et convexe sur l'intervalle .
En déduire que la courbe 𝒞 admet un unique point d'inflexion I dont on calculera les coordonnées.
La fonction f change de convexité en 0 donc la courbe 𝒞 admet un unique point d'inflexion I de coordonnées soit .
On considère la fonction F définie par . Comment peut-on montrer que F est une primitive de f sur l'intervalle ? On ne demande pas d'effectuer cette vérification.
F est une primitive de f si pour tout réel x de l'intervalle on a .
Calculer . On en donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
.
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