Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane 2017

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

La courbe 𝒞 ci-dessous est la courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur l'intervalle -410. On note f la fonction dérivée de f , et f sa dérivée seconde.
La tangente à la courbe 𝒞 au point A d'abscisse -2 est parallèle à l'axe des abscisses.
Le domaine S grisé sur la figure est le domaine compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses, la droite d'équation x=2 et la droite d'équation x=4.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

  1. Déterminer, en la justifiant, la valeur de f-2.

    La tangente à la courbe 𝒞 au point A d'abscisse -2 est parallèle à l'axe des abscisses donc f-2=0.


  2. Par une lecture graphique, quel semble être le signe de f4 ?

    D'après la courbe 𝒞 la fonction f est décroissante sur l'intervalle -210 donc f40.


  3. Déterminer, par une lecture graphique, un encadrement par deux entiers consécutifs de l'aire du domaine S grisé sur la figure.

    L'aire du domaine S grisé sur la figure est comprise entre 3 et 4 unités d'aire.


partie b

La fonction f précédente est définie sur l'intervalle -410 par fx=x+4e-0,5x.

    1. Montrer que fx=-0,5x-1e-0,5x.

      f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle -410 : {ux=x+4;ux=1vx=e-0,5x;vx=-0,5e-0,5x.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle -410, fx=e-0,5x+x+4×-0,5e-0,5x=1-0,5x-2e-0,5x=-0,5x-1e-0,5x

      Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle -410 par fx=-0,5x-1e-0,5x.


    2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle -410.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Pour tout réel x, e-0,5x>0 donc fx est du même signe que -0,5x-1 sur l'intervalle -410.

      Comme pour tout réel x, -0,5x-10x-2, on en déduit le tableau établissant le signe de f ainsi que les variations de la fonction f :

      x-4-210
      fx+0||
      fx

      0

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      2e

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      14e-5


    3. Montrer que sur l'intervalle 16 l'équation fx=1,5 admet une unique solution.
      On notera α cette unique solution.

      Sur l'intervalle 16, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante avec f1=5e-0,53 et f6=10e-30,5 soit f6<1,5<f1 alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle ab, alors pour tout réel k compris entre fa et fb, l'équation fx=k admet une solution unique α située dans l'intervalle ab.

      sur l'intervalle 16, l'équation fx=1,5 admet une unique solution α.


    4. Donner une valeur approchée à 10-2 de α.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve α3,11.


  1. On admet que la dérivée seconde de f est définie par fx=0,25xe-0,5x.

    1. Étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle -410.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde f. Comme pour tout réel x, 0,25xe-0,5x0x0 On en déduit le tableau du signe de la dérivée seconde :

      x-4010
      fx0||+

      La fonction f est concave sur l'intervalle -40 et convexe sur l'intervalle 010.


    2. En déduire que la courbe 𝒞 admet un unique point d'inflexion I dont on calculera les coordonnées.

      La fonction f change de convexité en 0 donc la courbe 𝒞 admet un unique point d'inflexion I de coordonnées 0f0 soit I04.


    1. On considère la fonction F définie par Fx=-2x-12e-0,5x. Comment peut-on montrer que F est une primitive de f sur l'intervalle -410 ? On ne demande pas d'effectuer cette vérification.

      F est une primitive de f si pour tout réel x de l'intervalle -410 on a Fx=fx.


    2. Calculer S=24fxdx. On en donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.

      24fxdx=F4-F2=-20e-2+16e-1

      24fxdx=16e-1-20e-23,18.



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