sujet : Antilles Guyane 2017

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

partie a

Le graphe ci-dessous représente le plan d'un centre de vacances. Les arêtes représentent les allées et les sommets, les carrefours.
On a indiqué sur chaque arête la longueur en mètre des allées entre deux carrefours.

1. Le service d'entretien doit nettoyer toutes les allées. En partant du carrefour C, peut-on nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles ? Justifier la réponse.

   • La chaîne A - C - E - G - F - D - B contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute paire de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant donc le graphe est connexe.

   • Le graphe étant connexe, déterminons le degré de chacun des sommets :

     Sommets	A	B	C	D	E	F	G
     Degré	2	4	3	2	4	3	2

   Le graphe est connexe et il n'y a que deux sommets C et F de degré impair, il existe donc une chaîne eulérienne d'extrémités C et F.

   En partant du carrefour C, on peut nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles. Par exemple le trajet C - A - B - C - E - B - D - F - E - G - F.

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2. Existe-t-il un parcours permettant de nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles et de revenir au point de départ ? Justifier la réponse.

   Il y a deux sommets de degré impair, par conséquent il n'existe pas de cycle eulérien. Donc un parcours permettant de nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles et de revenir au point de départ n'est pas possible.

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3. Déterminer le trajet le plus court pour aller du carrefour A au carrefour G.

   À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminons le trajet le plus court pour aller du carrefour A au carrefour G.

   A	B	C	D	E	F	G	Sommet sélectionné
   0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	A (0)
   	75 (A)	110 (A)	∞	∞	∞	∞	B (75)
   		110 (A) 105 (B)	125 (B)	117 (B)	∞	∞	C (105)
   			125 (B)	117 (B)	∞	∞	E (117)
   			125(B)		157(E)	210 (E)	D (125)
   					157 (E)	210 (E)	F (157)
   						210 (E)	G (210)

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   Le sommet G étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de G et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $G\leftarrow E\leftarrow B\leftarrow A$.

   Le trajet le plus court pour aller du carrefour A au carrefour G est A - B - E - G, la distance parcourue est de 210 mètres.

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partie b

1. Construire un graphe modélisant cette situation.

   On constate chaque jour que :

   • 5 % des vacanciers ayant déjeuné au centre de vacances ne se réinscrivent pas pour le lendemain d'où $p_{D_n}\left(E_{n+1}\right)=\mathrm{0,05}$ et $p_{D_n}\left(D_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}$.

   • 20 % des vacanciers ayant déjeuné à l'extérieur s'inscrivent pour déjeuner au centre de vacances le lendemain d'où $p_{E_n}\left(D_{n+1}\right)=\mathrm{0,2}$ et $p_{E_n}\left(E_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$.

   D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

2. Écrire la matrice de transition de ce graphe, les sommets étant rangés selon l'ordre alphabétique.

   La matrice de transition de ce graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, $P_{n+1}=P_n\times M$ est : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,95}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,20}& \mathrm{0,80}\end{array}\right)$.

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3. Le premier jour, le quart des vacanciers a déjeuné au centre de vacances. Quel pourcentage de vacanciers déjeunera au centre de vacances le deuxième jour ? Le cinquième jour ?

   Le premier jour, le quart des vacanciers a déjeuné au centre de vacances donc l'état probabiliste initial est $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,25}& \mathrm{0,75}\end{array}\right)$.

   • L'état probabiliste du deuxième jour est $P_1=P_0\times M$ soit : $$\begin{array}{ccccc}{P}_1& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,25}& \mathrm{0,75}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,95}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,20}& \mathrm{0,80}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3875}& \mathrm{0,6125}\end{array}\right)\end{array}$$

     Le deuxième jour, 38,75 % des vacanciers ont déjeuné au centre de vacances.

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   • L'état probabiliste du cinquième jour est $P_4=P_0\times M^4$ soit : $$\begin{array}{ccccc}{P}_4& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,25}& \mathrm{0,75}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,95}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,20}& \mathrm{0,80}\end{array}\right)}^4& \approx & \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,626}& \mathrm{0,324}\end{array}\right)\end{array}$$

     Le cinquième jour, environ 62,6 % des vacanciers ont déjeuné au centre de vacances.

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4. L'état $\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)$ est-il stable ?

   $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,95}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,20}& \mathrm{0,80}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,575}& \mathrm{0,425}\end{array}\right)\end{array}$$

   $\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)\times M\ne \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)$ donc l'état $\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)$ n'est pas stable.

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5. Peut-on affirmer qu'à terme, si les comportements des vacanciers restent les mêmes, 75 % des vacanciers prendront leur déjeuner au centre ?

   $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,75}& \mathrm{0,25}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,95}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,20}& \mathrm{0,80}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7625}& \mathrm{0,2375}\end{array}\right)\end{array}$$

   $\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,75}& \mathrm{0,25}\end{array}\right)\times M\ne \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,75}& \mathrm{0,25}\end{array}\right)$ donc l'état $\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,75}& \mathrm{0,25}\end{array}\right)$ n'est pas l'état stable. Par conséquent, on ne peut pas affirmer affirmer qu'à terme 75 % des vacanciers prendront leur déjeuner au centre.

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