sujet : Antilles Guyane 2017

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ par $f\left(x\right)=4+{\mathrm{e}}^{-5x}$.
On a tracé dans le repère orthogonal ci-dessous la courbe 𝒞 représentative de la fonction f dans un repère du plan.
Le domaine 𝒟 hachuré sur la figure est le domaine délimité par la courbe 𝒞, par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$.
On veut partager le domaine hachuré en deux domaines de même aire par une droite d'équation $y=a$, parallèle à l'axe des abscisses, selon l'exemple donné ci-dessous.

1. Justifier que la valeur $a=3$ ne convient pas.

   L'aire du rectangle délimité par la droite d'équation $y=3$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$ est égale à 3 unités d'aire.

   La courbe 𝒞 est situé au dessus de l'axe des abscisses donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe 𝒞, par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$ est égale à l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^{1}4+{\mathrm{e}}^{-5x}\mathrm{d}x}& =& {\left[4x-{\displaystyle \frac{1}{5}}\times {\mathrm{e}}^{-5x}\right]}_0^1\\ & =& \left(4-{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-5}}{5}}\right)-\left(-{\displaystyle \frac{1}{5}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{21-{\mathrm{e}}^{-5}}{5}}\end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{21-{\mathrm{e}}^{-5}}{5}}\ne 2\times 3$, la valeur $a=3$ ne convient pas.

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2. Déterminer à 0,1 près une valeur de a qui convienne.

   L'aire du domaine 𝒟 hachuré sur la figure est égale à ${\displaystyle \frac{21-{\mathrm{e}}^{-5}}{5}}$ unités d'aire.

   L'aire du rectangle délimité par la droite d'équation $y=a$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$ est égale à a unités d'aire.

   Ainsi, a est solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}2a={\displaystyle \frac{21-{\mathrm{e}}^{-5}}{5}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{21-{\mathrm{e}}^{-5}}{10}}\approx \mathrm{2,1}\end{array}$$

   La droite d'équation $y={\displaystyle \frac{21-{\mathrm{e}}^{-5}}{10}}$ partage le domaine hachuré en deux domaines de même aire.

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