sujet : Antilles Guyane 2017

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

1. A et B sont deux évènements d'une expérience aléatoire. On note $\overline{B}$ l'évènement contraire de B. On sait que : $P\left(A\right)=\mathrm{0,6}$, $P\left(B\right)=\mathrm{0,5}$ et $P\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,42}$. On peut affirmer que :

   $$\begin{array}{ccc}{P}_B\left(A\right)={\displaystyle \frac{P\left(A\cap B\right)}{p\left(B\right)}}& \text{Soit}& p_B\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,42}}{\mathrm{0,5}}}=\mathrm{0,84}\end{array}$$

   a. $P_A\left(B\right)=\mathrm{0,3}$

   b. $P\left(A\cup B\right)=\mathrm{0,58}$

   c. $P_B\left(A\right)=\mathrm{0,84}$

   d. $P\left(A\cap \overline{B}\right)=\mathrm{0,28}$

2. Dans une station de ski, le temps d'attente à un télésiège donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0;5\right]$.

   D'après le cours, si X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ alors, $E\left(X\right)={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$ et, pour tout intervalle $\left[c;d\right]$ inclus dans $\left[a;b\right]$, on a $p\left(c⩽X⩽d\right)={\displaystyle \frac{d-c}{b-a}}$.

   Comme X suit une loi uniforme sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ on en déduit que $p\left(X>2\right)=p\left(2<X⩽5\right)={\displaystyle \frac{5-2}{5-0}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$.

   a. L'espérance de cette loi X est ${\displaystyle \frac{2}{5}}$

   b. $p\left(X>2\right)={\displaystyle \frac{3}{5}}$

   c. $p\left(X⩽2\right)={\displaystyle \frac{3}{5}}$

   d. $p\left(X⩽5\right)=0$

3. Une machine remplit des flacons dont le volume annoncé est de 100 mL. On admet que le volume contenu dans le flacon peut être modélisé par une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance 100 mL et d'écart type 2 mL.

   Y suit la loi normale d'espérance $\mu =100$ et d'écart-type $\sigma =2$ d'où, $p\left(100-2\times 2⩽Y⩽100+2\times 2\right)=p\left(96⩽Y⩽104\right)\approx \mathrm{0,95}$.

   a. $p\left(Y⩽100\right)=\mathrm{0,45}$

   b. $p\left(Y>98\right)=\mathrm{0,75}$

   c. $p\left(96⩽Y⩽104\right)\approx \mathrm{0,95}$

   d. $p\left(Y⩽110\right)\approx \mathrm{0,85}$

4. Un article de journal affirme, qu'en France, il y a 16 % de gauchers. Un chercheur souhaite vérifier cette affirmation. Pour cela, il veut déterminer la taille de l'échantillon de la population française à étudier qui permettrait d'obtenir un intervalle de confiance d'amplitude égale à 0,1 au niveau de confiance de 0,95. La taille de l'échantillon est :

   Un intervalle de confiance de la proportion inconnue p au niveau de confiance 0,95 est $\left[f-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};f+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\right]$ où f est la fréquence observée dans un échantillon de taille n.
   Au niveau de confiance 0,95, l'amplitude de l'intervalle de confiance est ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}$.

   La taille n de l'échantillon est solution de l'équation :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}=\mathrm{0,1}& \iff & \sqrt{n}={\displaystyle \frac{2}{\mathrm{0,1}}}=20\\ & \iff & n={20}^2=400\end{array}$$

   a. 30

   b. 64

   c. 100

   d. 400

5. La fonction f est la fonction densité de probabilité associée à la loi normale centrée réduite $𝒩\left(0;1\right)$. La fonction g est la fonction de densité de probabilité associée à la loi normale de moyenne $\mu =3$ et d'écart-type $\sigma =2$. La représentation graphique de ces deux fonctions est :

   • La fonction f est la fonction densité de probabilité associée à la loi normale centrée réduite $𝒩\left(0;1\right)$ d'où $f\left(0\right)\approx \mathrm{0,4}$.

   • La fonction g est la fonction de densité de probabilité associée à la loi normale de moyenne $\mu =3$ et d'écart-type $\sigma =2$. Avec la calculatrice, on trouve $g\left(3\right)\approx \mathrm{0,2}$.

   Le graphique d est le seul susceptible de représenter les fonctions f et g

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