sujet : Antilles Guyane 2017

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Un particulier possède une piscine et décide de s'équiper d'un système automatique de remplissage pour tenir compte de l'évaporation pendant la période estivale. Sur un site spécialisé, il apprend que les conditions climatiques dans sa région pendant cette période sont telles qu'il peut prévoir une évaporation quotidienne de 4 % de la quantité d'eau. Il décide alors de régler son système de remplissage automatique à un apport de 2 m³ d'eau par jour.
Le premier jour de la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage, la piscine contient 75 m³.
Pour tout entier naturel n, on note $u_n$ le volume d'eau dans la piscine, exprimé en mètre cube (m³), n jours après la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage. Ainsi, $u_0=75$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

   $$\begin{array}{ll}& u_1=75\times \left(1-{\displaystyle \frac{4}{100}}\right)+2=74\\ \text{et}& u_2=74\times \left(1-{\displaystyle \frac{4}{100}}\right)+2=\mathrm{73,04}\end{array}$$

   Ainsi, $u_1=74$ et $u_2=\mathrm{73,04}$.

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2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas arithmétique. Est-elle géométrique ?

   • $$\begin{array}{ccc}{u}_1-u_0=74-75=-1& \text{et}& u_2-u_1=\mathrm{73,04}-74=-\mathrm{0,96}\end{array}$$

     $u_1-u_0\ne u_2-u_1$ donc la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas arithmétique.

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   • $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{u_1}{u_0}}={\displaystyle \frac{74}{75}}& \text{et}& {\displaystyle \frac{u_2}{u_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{73,04}}{74}}\end{array}$$

     ${\displaystyle \frac{u_1}{u_0}}\ne {\displaystyle \frac{u_2}{u_1}}$ donc la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique.

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3. Justifier que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,96}\times u_n+2$.

   Le coefficient multiplicateur associé à une évaporation quotidienne de 4 % de la quantité d'eau est égal à 0,96 et, tous les jours on ajoute 2 m³ d'eau donc :

   pour tout entier naturel n, on a : $u_{n+1}=\mathrm{0,96}\times u_n+2$.

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4. Pour tout entier naturel n, on pose $v_n=u_n-50$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme $v_0$.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-50\hfill \\ & =& \mathrm{0,96}{u}_n+2-50\hfill \\ & =& \mathrm{0,96}{u}_n-48\hfill \\ & =& \mathrm{0,96}\times \left(u_n-50\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,96}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,96}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,96 dont le premier terme $v_0=75-50=25$.

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   2. Pour tout entier naturel n, exprimer $v_n$ en fonction de n.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme $v_0=25$ donc pour tout entier naturel n, on a $v_n=25\times {\mathrm{0,96}}^n$.

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   3. En déduire que pour tout entier naturel n, $u_n=25\times {\mathrm{0,96}}^n+50$.

      Comme pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-50\iff u_n=v_n+50$ on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, $u_n=25\times {\mathrm{0,96}}^n+50$.

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   4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

      $0<\mathrm{0,96}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,96}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }25\times {\mathrm{0,96}}^n+50=50$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=50$.

      La suite $\left(u_n\right)$ converge vers 50 donc à partir d'un certain nombre de jours, le volume d'eau dans la piscine sera proche de 50 m³.

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5. Si le volume d'eau dans la piscine est inférieur à 65 m³, le niveau de l'eau est insuffisant pour alimenter les pompes de filtration ce qui risque de les endommager. Pour connaître le nombre de jours pendant lesquels le niveau d'eau reste suffisant sans risquer de panne en conservant ce réglage, on construit l'algorithme suivant :

   1. Recopier et compléter les lignes L5 et L6 de cet algorithme.

      Au choix :

      $n\leftarrow 0$	L1	OU	$n\leftarrow 0$	L1
      $u\leftarrow 75$	L2		$u\leftarrow 75$	L2
      Tant que $u⩾65$	L3		Tant que $u⩾65$	L3
      $u\leftarrow \mathrm{0,96}\times u+2$	L4		$u\leftarrow 25\times {\mathrm{0,96}}^n+50$	L4
      $n\leftarrow n+1$	L5		$n\leftarrow n+1$	L5
      Fin Tant que	L6		Fin Tant que	L6

   2. Quelle est la valeur de n calculée à la fin de cet algorithme ?

      On peut programmer l'algorithme sur la calculatrice ou déterminer le plus petit entier n solution de l'inéquation :$$\begin{array}{rcll}25\times {\mathrm{0,96}}^n+50<65& \iff & 25\times {\mathrm{0,96}}^n<15& \\ & \iff & {\mathrm{0,96}}^n<\mathrm{0,6}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,96}}^n\right)<\ln \mathrm{0,6}& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{0,96}<\ln \mathrm{0,6}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,6}}{\ln \mathrm{0,96}}}& \ln \mathrm{0,96}<0\end{array}$$

      Comme ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,6}}{\ln \mathrm{0,96}}}\approx \mathrm{12,5}$ alors le plus petit entier n solution de l'inéquation $25\times {\mathrm{0,96}}^n+50<65$ est $n=13$.

      La valeur de n calculée à la fin de cet algorithme est $n=13$.

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   3. Pendant combien de jours le niveau de l'eau est-il suffisant si on conserve ce réglage ?

      Avec ce réglage, le niveau de l'eau est suffisant pendant 13 jours.

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