Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane 2017

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un particulier possède une piscine et décide de s'équiper d'un système automatique de remplissage pour tenir compte de l'évaporation pendant la période estivale. Sur un site spécialisé, il apprend que les conditions climatiques dans sa région pendant cette période sont telles qu'il peut prévoir une évaporation quotidienne de 4 % de la quantité d'eau. Il décide alors de régler son système de remplissage automatique à un apport de 2 m3 d'eau par jour.
Le premier jour de la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage, la piscine contient 75 m3.
Pour tout entier naturel n, on note un le volume d'eau dans la piscine, exprimé en mètre cube (m3), n jours après la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage. Ainsi, u0=75.

  1. Calculer u1 et u2.

    u1=75×1-4100+2=74etu2=74×1-4100+2=73,04

    Ainsi, u1=74 et u2=73,04.


  2. Justifier que la suite un n'est pas arithmétique. Est-elle géométrique ?

    • u1-u0=74-75=-1etu2-u1=73,04-74=-0,96

      u1-u0u2-u1 donc la suite un n'est pas arithmétique.


    • u1u0=7475etu2u1=73,0474

      u1u0u2u1 donc la suite un n'est pas géométrique.


  3. Justifier que, pour tout entier naturel n, un+1=0,96×un+2.

    Le coefficient multiplicateur associé à une évaporation quotidienne de 4 % de la quantité d'eau est égal à 0,96 et, tous les jours on ajoute 2 m3 d'eau donc :

    pour tout entier naturel n, on a : un+1=0,96×un+2.


  4. Pour tout entier naturel n, on pose vn=un-50.

    1. Montrer que la suite vn est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme v0.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-50=0,96un+2-50=0,96un-48=0,96×un-50=0,96vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=0,96vn donc vn est une suite géométrique de raison 0,96 dont le premier terme v0=75-50=25.


    2. Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.

      vn est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme v0=25 donc pour tout entier naturel n, on a vn=25×0,96n.


    3. En déduire que pour tout entier naturel n, un=25×0,96n+50.

      Comme pour tout entier naturel n, vn=un-50un=vn+50 on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, un=25×0,96n+50.


    4. Déterminer la limite de la suite un et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

      0<0,98<1 donc limn+0,96n=0 d'où, limn+25×0,96n+50=50. Soit limn+un=50.

      La suite un converge vers 50 donc à partir d'un certain nombre de jours, le volume d'eau dans la piscine sera proche de 50 m3.


  5. Si le volume d'eau dans la piscine est inférieur à 65 m3, le niveau de l'eau est insuffisant pour alimenter les pompes de filtration ce qui risque de les endommager. Pour connaître le nombre de jours pendant lesquels le niveau d'eau reste suffisant sans risquer de panne en conservant ce réglage, on construit l'algorithme suivant :

    1. Recopier et compléter les lignes L5 et L6 de cet algorithme.

      Au choix :

      Variables :n est un nombre entier naturelL1

      OU

      Variables :n est un nombre entier naturelL1
      u est un nombre réelL2u est un nombre réelL2
      Traitement :n prend la valeur 0L3Traitement :n prend la valeur 0L3
      u prend la valeur 75L4u prend la valeur 75L4
      Tant que u65L5Tant que u65L5
      u prend la valeur 0,96×u+2 L6u prend la valeur 25×0,96n+50 L6
      n prend la valeur n+1L7n prend la valeur n+1L7
      Fin Tant queL8Fin Tant queL8
      Sortie :Afficher nL9Sortie :Afficher nL9
    2. Quel est le résultat affiché en sortie de cet algorithme ?

      On peut programmer l'algorithme sur la calculatrice ou déterminer le plus petit entier n solution de l'inéquation :25×0,96n+50<6525×0,96n<150,96n<0,6ln0,96n<ln0,6 La fonction  ln est strictement croissanten×ln0,96<ln0,6Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnan>ln0,6ln0,96ln0,96<0

      Comme ln0,6ln0,9612,5 alors le plus petit entier n solution de l'inéquation 25×0,96n+50<65 est n=13.

      Le résultat affiché en sortie de cet algorithme est 13.


    3. Pendant combien de jours le niveau de l'eau est-il suffisant si on conserve ce réglage ?

      Avec ce réglage, le niveau de l'eau est suffisant pendant 13 jours.



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