Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane 2017

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un particulier possède une piscine et décide de s'équiper d'un système automatique de remplissage pour tenir compte de l'évaporation pendant la période estivale. Sur un site spécialisé, il apprend que les conditions climatiques dans sa région pendant cette période sont telles qu'il peut prévoir une évaporation quotidienne de 4 % de la quantité d'eau. Il décide alors de régler son système de remplissage automatique à un apport de 2 m3 d'eau par jour.
Le premier jour de la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage, la piscine contient 75 m3.
Pour tout entier naturel n, on note un le volume d'eau dans la piscine, exprimé en mètre cube (m3), n jours après la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage. Ainsi, u0=75.

  1. Calculer u1 et u2.

    u1=75×1-4100+2=74etu2=74×1-4100+2=73,04

    Ainsi, u1=74 et u2=73,04.


  2. Justifier que la suite un n'est pas arithmétique. Est-elle géométrique ?

    • u1-u0=74-75=-1etu2-u1=73,04-74=-0,96

      u1-u0u2-u1 donc la suite un n'est pas arithmétique.


    • u1u0=7475etu2u1=73,0474

      u1u0u2u1 donc la suite un n'est pas géométrique.


  3. Justifier que, pour tout entier naturel n, un+1=0,96×un+2.

    Le coefficient multiplicateur associé à une évaporation quotidienne de 4 % de la quantité d'eau est égal à 0,96 et, tous les jours on ajoute 2 m3 d'eau donc :

    pour tout entier naturel n, on a : un+1=0,96×un+2.


  4. Pour tout entier naturel n, on pose vn=un-50.

    1. Montrer que la suite vn est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme v0.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-50=0,96un+2-50=0,96un-48=0,96×un-50=0,96vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=0,96vn donc vn est une suite géométrique de raison 0,96 dont le premier terme v0=75-50=25.


    2. Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.

      vn est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme v0=25 donc pour tout entier naturel n, on a vn=25×0,96n.


    3. En déduire que pour tout entier naturel n, un=25×0,96n+50.

      Comme pour tout entier naturel n, vn=un-50un=vn+50 on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, un=25×0,96n+50.


    4. Déterminer la limite de la suite un et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

      0<0,96<1 donc limn+0,96n=0 d'où, limn+25×0,96n+50=50. Soit limn+un=50.

      La suite un converge vers 50 donc à partir d'un certain nombre de jours, le volume d'eau dans la piscine sera proche de 50 m3.


  5. Si le volume d'eau dans la piscine est inférieur à 65 m3, le niveau de l'eau est insuffisant pour alimenter les pompes de filtration ce qui risque de les endommager. Pour connaître le nombre de jours pendant lesquels le niveau d'eau reste suffisant sans risquer de panne en conservant ce réglage, on construit l'algorithme suivant :

    1. Recopier et compléter les lignes L5 et L6 de cet algorithme.

      Au choix :

      n0L1

      OU

      n0L1
      u75L2u75L2
      Tant que u65 L3 Tant que u65L3
      u0,96×u+2  L4u25×0,96n+50  L4
      nn+1L5nn+1L5
      Fin Tant queL6Fin Tant queL6
    2. Quelle est la valeur de n calculée à la fin de cet algorithme ?

      On peut programmer l'algorithme sur la calculatrice ou déterminer le plus petit entier n solution de l'inéquation :25×0,96n+50<6525×0,96n<150,96n<0,6ln0,96n<ln0,6 La fonction  ln est strictement croissanten×ln0,96<ln0,6Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnan>ln0,6ln0,96ln0,96<0

      Comme ln0,6ln0,9612,5 alors le plus petit entier n solution de l'inéquation 25×0,96n+50<65 est n=13.

      La valeur de n calculée à la fin de cet algorithme est n=13.


    3. Pendant combien de jours le niveau de l'eau est-il suffisant si on conserve ce réglage ?

      Avec ce réglage, le niveau de l'eau est suffisant pendant 13 jours.



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