sujet : Antilles Guyane septembre 2017

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les deux parties sont indépendantes

partie a

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et P où le sommet A représente l'état « un habitant est abonné » et P l'état « un habitant n'est pas abonné ».

   Le responsable du service location a constaté que chaque année :

   • 93 % des abonnements sont renouvelés d'où $p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,93}$ et $p_{A_n}\left(P_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,93}=\mathrm{0,07}$.

   • 1 % des habitants qui n'étaient pas abonnés l'année précédente souscrivent un abonnement d'où $p_{P_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,01}$ et $p_{P_n}\left(P_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,01}=\mathrm{0,99}$.

   D'où le graphe probabiliste modélisant situation :

2. Déterminer la matrice de transition T de ce graphe en respectant l'ordre A puis P des sommets.

   La matrice de transition de ce graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, $R_{n+1}=R_n\times T$ est : $T=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,93}& \mathrm{0,07}\\ \mathrm{0,01}& \mathrm{0,99}\end{array}\right)$.

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3. Déterminer $R_1$.

   T est la matrice de transition du graphe d'où $R_1=R_0\times T$ soit : $$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{cc}{a}_1& p_1\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,05}& \mathrm{0,95}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,93}& \mathrm{0,07}\\ \mathrm{0,01}& \mathrm{0,99}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,05}\times \mathrm{0,93}+\mathrm{0,95}\times \mathrm{0,01}& \mathrm{0,05}\times \mathrm{0,07}+\mathrm{0,95}\times \mathrm{0,99}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,056}& \mathrm{0,944}\end{array}\right)\end{array}$$

   Ainsi, $R_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,056}& \mathrm{0,944}\end{array}\right)$.

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4. Déterminer l'état probabiliste en 2021.Les résultats seront arrondis au millième.

   L'état probabiliste en 2021 est $R_4=R_0\times T^4$ soit :$$\left(\begin{array}{cc}{a}_4& p_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,05}& \mathrm{0,95}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,93}& \mathrm{0,07}\\ \mathrm{0,01}& \mathrm{0,99}\end{array}\right)}^4\approx \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,071}& \mathrm{0,929}\end{array}\right)$$

   Ainsi, l'état probabiliste en 2021 est $R_4\approx \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,071}& \mathrm{0,929}\end{array}\right)$.

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5. On admet qu'il existe un état stable $\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$.

   1. Justifier que x et y sont solutions du système : $\{\begin{array}{lcr}-7x+y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}$.

      Les termes de la matrice de tansition T d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $R_n$ converge vers un état stable $R=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$ et vérifiant : $$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,93}& \mathrm{0,07}\\ \mathrm{0,01}& \mathrm{0,99}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,93}x+\mathrm{0,01}y& \mathrm{0,07}x+\mathrm{0,99}y\end{array}\right)\\ & \text{soit}& \{\begin{array}{c}x=\mathrm{0,93}x+\mathrm{0,01}y\\ y=\mathrm{0,07}x+\mathrm{0,99}y\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\mathrm{0,07}x-\mathrm{0,01}y=0\\ -\mathrm{0,07}x+\mathrm{0,01}y=0\end{array}\end{array}$$D'où x et y vérifient la relation $-\mathrm{0,07}x+\mathrm{0,01}y=0\iff -7x+y=0$. Comme d'autre part, $x+y=1$ on en déduit que :

      x et y sont solutions du système $\{\begin{array}{lcr}-7x+y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}$.

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   2. Déterminer l'état stable de ce graphe.

      $$\begin{array}{rcl}\{\begin{array}{lcr}-7x+y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{lcl}8x& =& 1\\ x+y& =& 1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{1}{8}}\\ y={\displaystyle \frac{7}{8}}\end{array}\end{array}$$

      L'état stable du système est $R=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,127}& \mathrm{0,875}\end{array}\right)$.

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partie b

Le responsable du service de location souhaite vérifier l'état des pistes cyclables reliant les parkings à vélos de location disposés dans la ville. On modélise la disposition des lieux par le graphe étiqueté ci-dessous dont les sommets représentent les parkings à vélo. Les poids des arêtes sont les durées moyennes de parcours, en minute, pour se rendre d'un parking à l'autre en suivant la piste cyclable.

1. Le responsable peut-il planifier un parcours partant de son bureau situé en A jusqu'à la mairie située en F en passant par toutes les pistes cyclables sans emprunter deux fois le même chemin ?

   Il y a quatre sommets de degré impair (A, B, D et E), par conséquent il n'existe pas de chaîne eulérienne. Donc un parcours partant du bureau situé en A jusqu'à la mairie située en F en passant par toutes les pistes cyclables sans emprunter deux fois le même chemin n'est pas possible.

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2. Le responsable est pressé. Déterminer le parcours le plus rapide possible permettant d'aller de A à F.

   À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminons le trajet le plus rapide possible permettant d'aller de A à F.

   A	B	C	D	E	F	G	Sommet sélectionné
   0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	A (0)
   	6 (A)	5 (A)	2 (A)	∞	∞	∞	D (2)
   	6 (A)	5 (A) 4 (D)		11 (D)	∞	∞	C (4)
   	6 (A)			11 (D)	∞	8 (C)	B (6)
   				11 (D)	∞	8 (C)	G (8)
   				11 (D) 10 (G)	15 (G)		E (10)
   					15 (G) 14 (E)		F (14)

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   Le sommet F étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de F et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $F\leftarrow E\leftarrow G\leftarrow C\leftarrow D\leftarrow A$.

   Le parcours le plus rapide possible permettant d'aller de A à F est A - D - C - G - E - F, la durée de ce parcours est de 14 minutes.

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