Les deux parties sont indépendantes
Une petite ville dispose d'un service municipal de location de vélos réservé à ses habitants.
Pour cette étude, on suppose que la population de la ville reste constante.
Le 1er janvier 2017, la ville compte 5 % d'abonnés parmi ses habitants. Ces dernières années, le responsable du service location a constaté que :
On note A l'état : « un habitant est abonné » et P l'état: « un habitant n'est pas abonné ».
Pour tout entier naturel n, on désigne par la probabilité qu'un habitant soit abonné l'année et la probabilité qu'un habitant ne soit pas abonné l'année .
La matrice ligne donne l'état probabiliste du nombre d'abonnés l'année .
Ainsi .
Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et P où le sommet A représente l'état « un habitant est abonné » et P l'état « un habitant n'est pas abonné ».
Le responsable du service location a constaté que chaque année :
93 % des abonnements sont renouvelés d'où et .
1 % des habitants qui n'étaient pas abonnés l'année précédente souscrivent un abonnement d'où et .
D'où le graphe probabiliste modélisant situation :
Déterminer la matrice de transition T de ce graphe en respectant l'ordre A puis P des sommets.
La matrice de transition de ce graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, est : .
Déterminer .
T est la matrice de transition du graphe d'où soit :
Ainsi, .
Déterminer l'état probabiliste en 2021.Les résultats seront arrondis au millième.
L'état probabiliste en 2021 est soit :
Ainsi, l'état probabiliste en 2021 est .
On admet qu'il existe un état stable .
Justifier que x et y sont solutions du système : .
Les termes de la matrice de tansition T d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état converge vers un état stable avec et vérifiant : D'où x et y vérifient la relation . Comme d'autre part, on en déduit que :
x et y sont solutions du système .
Déterminer l'état stable de ce graphe.
L'état stable du système est .
Le responsable du service de location souhaite vérifier l'état des pistes cyclables reliant les parkings à vélos de location disposés dans la ville. On modélise la disposition des lieux par le graphe étiqueté ci-dessous dont les sommets représentent les parkings à vélo. Les poids des arêtes sont les durées moyennes de parcours, en minute, pour se rendre d'un parking à l'autre en suivant la piste cyclable.
Le responsable peut-il planifier un parcours partant de son bureau situé en A jusqu'à la mairie située en F en passant par toutes les pistes cyclables sans emprunter deux fois le même chemin ?
Il y a quatre sommets de degré impair (A, B, D et E), par conséquent il n'existe pas de chaîne eulérienne. Donc un parcours partant du bureau situé en A jusqu'à la mairie située en F en passant par toutes les pistes cyclables sans emprunter deux fois le même chemin n'est pas possible.
Le responsable est pressé. Déterminer le parcours le plus rapide possible permettant d'aller de A à F.
À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminons le trajet le plus rapide possible permettant d'aller de A à F.
A | B | C | D | E | F | G | Sommet sélectionné |
0 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | A (0) |
6 (A) | 5 (A) | 2 (A) | ∞ | ∞ | ∞ | D (2) | |
6 (A) | 4 (D) | 11 (D) | ∞ | ∞ | C (4) | ||
6 (A) | 11 (D) | ∞ | 8 (C) | B (6) | |||
11 (D) | ∞ | 8 (C) | G (8) | ||||
10 (G) | 15 (G) | E (10) | |||||
14 (E) | F (14) |
Le sommet F étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de F et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. .
Le parcours le plus rapide possible permettant d'aller de A à F est A - D - C - G - E - F, la durée de ce parcours est de 14 minutes.
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