On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle par .
Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l'on pourra utiliser :
factoriser(deriver()) | |
factoriser(deriver(deriver())) | |
Retrouver par le calcul l'expression factorisée de où est la fonction dérivée de f.
d'où avec pour tout réel x de l'intervalle :
Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par .
Étudier le signe de sur l'intervalle et dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle . On arrondira les valeurs au millième.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Pour tout réel x, donc sur l'intervalle , est du même signe que .
Nous pouvons en déduire le signe de ainsi que les variations de la fonction f :
x | 1 | 5 | 25 | ||
+ | − | ||||
On s'intéresse à l'équation .
Montrer que l'équation n'admet pas de solution sur l'intervalle .
Sur l'intervalle , la fonction f est strictement croissante et . Par conséquent, pour tout réel , .
L'équation n'admet pas de solution sur l'intervalle .
Montrer que l'équation admet une unique solution α sur l'intervalle .
Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante avec et soit alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
sur l'intervalle , l'équation admet une unique solution α.
Déterminer un encadrement d'amplitude de la solution α.
À l'aide de la calculatrice, on trouve .
En utilisant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, justifier que la fonction f est concave sur l'intervalle .
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.
D'après le résultat donné par le logiciel de calcul formel, .
Pour tout réel , et donc sur l'intervalle , est du même signe que le polynôme du second degré avec , et .
Le discriminant du trinôme est soit . donc pour tout réel x, .
Pour tout réel x de l'intervalle , donc la fonction f est concave sur l'intervalle .
Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail. On s'intéresse au bénéfice réalisé, en millier d'euros, correspondant à la production d'une quantité de x dizaines de tonnes d'aliments.
On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction f étudiée dans la partie A ci-dessus. La production minimale est de 10 tonnes, ainsi .
Les réponses aux questions suivantes seront justifiées grâce à la partie A.
Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ? Pour quelle quantité d'aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?
Le maximum de la fonction f est .
Le bénéfice maximal que peut dégager la société est de 8522 euros obtenu avec une production de 50 tonnes.
Déterminer, à la tonne près, la quantité maximale d'aliments qu'il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice.
Sur l'intervalle , .
Sur l'intervalle , la fonction f est décroissante et donc si alors, .
Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle avec .
La quantité maximale d'aliments qu'il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice est de 219 tonnes.
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