Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane septembre 2017

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [1;25] par f(x)=10-e0,2x+1x.

Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l'on pourra utiliser :

f(x):10-e˄(0.2x+1)/x
x10-exp(0.2x+1)x
factoriser(deriver(f(x)))
exp(0.2x+1)*(1-0.2x)x2
factoriser(deriver(deriver(f(x))))
exp(0.2x+1)*(-x2+10x-50)25x3
  1. Retrouver par le calcul l'expression factorisée de f(x)f est la fonction dérivée de f.

    f=10-uv d'où f=-uv-uvv2 avec pour tout réel x de l'intervalle [1;25] : {u(x)=e0,2x+1d'oùu(x)=0,2e0,2x+1 et v(x)=x d'où v(x)=1

    Soit pour tout réel x de l'intervalle [1;25], f(x)=-0,2xe0,2x+1-e0,2x+1x2=-e0,2x+1×(0,2x-1)x2=e0,2x+1×(1-0,2x)x2

    f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [1;25] par f(x)=e0,2x+1×(1-0,2x)x2.


  2. Étudier le signe de f sur l'intervalle [1;25] et dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [1;25]. On arrondira les valeurs au millième.

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

    Pour tout réel x, e0,2x+1>0 donc sur l'intervalle [1;25], f(x) est du même signe que (1-0,2x).

    Nous pouvons en déduire le signe de f(x) ainsi que les variations de la fonction f :

    x1525
    f(x)+0||
    f(x)

    6,68

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    8,522

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -6,137

  3. On s'intéresse à l'équation f(x)=0.

    1. Montrer que l'équation f(x)=0 n'admet pas de solution sur l'intervalle [1;5].

      Sur l'intervalle [1;5], la fonction f est strictement croissante et f(1)>0. Par conséquent, pour tout réel x[1;5], f(x)>0.

      L'équation f(x)=0 n'admet pas de solution sur l'intervalle [1;5].


    2. Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α sur l'intervalle [5;25].

      Sur l'intervalle [5;25], la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante avec f(5)>0 et f(25)<0 soit f(25)<0<f(1) alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

      sur l'intervalle [5;25], l'équation f(x)=0 admet une unique solution α.


    3. Déterminer un encadrement d'amplitude 10-2 de la solution α.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve 21,95<α<21,96.


    4. En utilisant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, justifier que la fonction f est concave sur l'intervalle [1;25].

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.

      D'après le résultat donné par le logiciel de calcul formel, f(x)=e0,2x+1×(-x2+10x-50)25x3.

      Pour tout réel x[1;5], e0,2x+1>0 et 25x3>0 donc sur l'intervalle [1;25], f(x) est du même signe que le polynôme du second degré -x2+10x-50 avec a=-1, b=10 et c=-50.

      Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac soit Δ=100-4×(-1)×(-50)=-100. Δ<0 donc pour tout réel x, -x2+10x-50<0.

      Pour tout réel x de l'intervalle [1;25], f(x)<0 donc la fonction f est concave sur l'intervalle [1;25].


partie b

Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail. On s'intéresse au bénéfice réalisé, en millier d'euros, correspondant à la production d'une quantité de x dizaines de tonnes d'aliments.
On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction f étudiée dans la partie A ci-dessus. La production minimale est de 10 tonnes, ainsi x1.
Les réponses aux questions suivantes seront justifiées grâce à la partie A.

  1. Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ? Pour quelle quantité d'aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?

    Le maximum de la fonction f est f(5)8,522.

    Le bénéfice maximal que peut dégager la société est de 8522 euros obtenu avec une production de 50 tonnes.


  2. Déterminer, à la tonne près, la quantité maximale d'aliments qu'il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice.

    • Sur l'intervalle [1;5], f(x)>0.

    • Sur l'intervalle [5;25], la fonction f est décroissante et f(α)=0 donc si 5x<α alors, f(x)>0.

    Par conséquent, f(x)>0 pour tout réel x de l'intervalle [1;α[ avec 21,95<α<21,96.

    La quantité maximale d'aliments qu'il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice est de 219 tonnes.



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