Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane septembre 2017

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Chaque année, les organisateurs d'une course de montagne proposent trois parcours de difficulté croissante : vert, bleu et rouge.
Les organisateurs ont constaté que 50 % des coureurs choisissent le parcours vert, 30 % choisissent le parcours bleu, le reste des coureurs choisit le parcours rouge.
Ils ont également constaté, en observant les années précédentes, que :

  • 3,2 % de l'ensemble des coureurs abandonnent la course ;
  • 2 % des coureurs du parcours vert abandonnent la course ;
  • 5 % des coureurs du parcours rouge abandonnent la course.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque.

partie a

À la fin de la course, on choisit au hasard un des participants de telle façon que tous ont la même probabilité d'être choisis. On note :

  • V l'évènement « Le coureur a choisi le parcours vert » ;
  • B l'évènement « Le coureur a choisi le parcours bleu » ;
  • R l'évènement « Le coureur a choisi le parcours rouge » ;
  • A l'évènement « Le coureur a abandonné la course ».
  1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré que l'on complètera au fur et à mesure de l'exercice.

    • 50 % des coureurs choisissent le parcours vert, 30 % choisissent le parcours bleu, le reste des coureurs choisit le parcours rouge d'où P(V)=0,5, P(B)=0,3 et P(R)=1-(0,5+0,3)=0,2.
    • 3,2 % de l'ensemble des coureurs abandonnent la course d'où P(A)=0,032
    • 2 % des coureurs du parcours vert abandonnent la course d'où P(VA)=0,02.
    • 5 % des coureurs du parcours rouge abandonnent la course d'où P(RA)=0,05.

    L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Calculer la probabilité de l'évènement VA. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

    P(VA)=PV(A)×P(V)soitP(VA)=0,02×0,5=0,01

    La probabilité qu'un coureur choisisse le parcours vert et abandonne la course est égale à 0,01.


  3. Un coureur se blesse et abandonne la course. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi le parcours vert ?

    3,2 % de l'ensemble des coureurs abandonnent la course d'où P(A)=0,032. PA(V)=P(VA)P(A)soitPA(V)=0,010,032=0,3125

    La probabilité qu'un coureur qui a abandonné la course ait choisi le parcours vert est égale à 0,3125.


  4. Démontrer que P(BA)=0,012.

    D'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
    P(A)=P(AV)+P(AB)+P(AR)d'oùP(AB)=P(A)-P(AV)-P(AR)

    Or P(AR)=PR(A)×P(R)soitP(AR)=0,05×0,2=0,01

    Ainsi, P(AB)=0,032-0,01-0,01=0,012

    La probabilité qu'un coureur choisisse le parcours bleu et abandonne la course est égale à 0,012.


  5. En déduire la probabilité PB(A). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

    PB(A)=P(AB)P(B)soitPB(A)=0,0120,3=0,04

    PB(A)=0,04, on en déduit que 4 % des coureurs ayant choisisi le parcours bleu abandonnent la course.


partie b

Le temps hebdomadaire d'entraînement des coureurs du parcours rouge, exprimé en heure, peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale dont l'espérance est de 6 heures et l'écart type est de 2 heures.

  1. Lequel des deux graphiques suivants, graphique 1 ou graphique 2, représente la fonction de densité de la loi normale de paramètres μ=6 et d'écart-type σ=2 ? Justifier la réponse.

    Graphique 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Graphique 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    graphique 1graphique 2
    • La courbe représentative de la fonction de densité de la loi normale de paramètres μ=6 admet pour axe de symétrie la droite d'équation x=6. Par conséquent, les deux graphiques semblent convenir.

    • X suit la loi normale de paramètres μ=6 et d'écart-type σ=2 d'où P(4X8)0,683 et P(2X10)0,954. Soit en termes d'aire :
      l'aire du domaine situé sous la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=4 et x=6 est égale à environ 0,683 unités d'aire ;
      l'aire du domaine situé sous la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=2 et x=10 est égale à environ 0,954 unités d'aire.

      Par conséquent, le graphique 1 ne convient pas.

    Le graphique 2, représente la fonction de densité de la loi normale de paramètres μ=6 et d'écart-type σ=2.


  2. Un magazine spécialisé interroge au hasard quelques participants du parcours rouge afin de mener une enquête sur la durée de leur entraînement. On arrondira les résultats au millième.

    1. Quelle est la probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est comprise entre 5 h et 7 h ?

      D'après la calculatrice, P(5X7)0,383

      La probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est comprise entre 5 h et 7 h est 0,383.


    2. Quelle est la probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est inférieure à 4 h ?

      On peut obtenir le résultat avec la calculatrice ou utiliser les valeurs remarquables de la loi normale :P(X<4)=P(X6)-P(4X6)=0,5-12×P(4X8)0,5-0,68320,159

      La probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est inférieure à 4 h est 0,159.



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