Soit f la fonction définie et dérivable sur par : .
On note 𝒞 la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormé.
On note la fonction dérivée de la fonction f sur .
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
affirmation 1
On note F la primitive sur de la fonction f qui vérifie . Pour tout réel x strictement positif, .
F est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables sur l'intervalle : d'où avec pour tout réel x strictement positif : .
Soit pour tout réel x strictement positif :
Pour tout réel x strictement positif, donc F est une primitive de la fonction f sur . En outre, .
Ainsi, F est la primitive de la fonction f qui vérifie donc l'affirmation 1 est vraie.
affirmation 2
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle .
La fonction ln est strictement croissante sur l'intervalle donc :
la fonction f définie par : est strictement croissante. L'affirmation 2 est vraie.
affirmation 3
L'équation possède exactement une solution dans l'intervalle .
Pour tout réel x strictement positif,
L'équation a pour unique solution . L'affirmation 3 est vraie.
affirmation 4
Il existe au moins un point de la courbe 𝒞 pour lequel la tangente en ce point est située entièrement sous la courbe 𝒞.
La dérivée de la fonction f est la fonction définie pour tout réel x strictement positif par .
Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur on en déduit que la fonction f est concave.
La fonction f est concave donc la courbe 𝒞 est située en dessous de chacune de ses tangentes. L'affirmation 4 est fausse.
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