sujet : Asie 2017

Corrigé de l'exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

1. Recopier l'arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.

   • 20 % des élèves ayant choisi « Ouverture culturelle » une certaine semaine s'inscrivent en « Approfondissement » la semaine suivante d'où $P_{\overline{A_n}}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,2}$ et $P_{\overline{A_n}}\left(\overline{A_{n+1}}\right)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$.

   • 30 % des élèves ayant choisi « Approfondissement » une certaine semaine s'inscrivent en « Ouverture culturelle » la semaine suivante d'où $P_{A_n}\left(\overline{A_{n+1}}\right)=\mathrm{0,3}$ et $P_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, $p_{n+1}=\mathrm{0,5}{p}_n+\mathrm{0,2}$.

   $p_{n+1}$ est la probabilté de l'évènement « l'élève a choisi « Approfondissement » la $n+1$-ième semaine » noté $A_{n+1}$. D'après la formule des probabilités totales :$$P\left(A_{n+1}\right)=P\left(A_{n+1}\cap A_n\right)+P\left(A_{n+1}\cap \overline{A_n}\right)$$

   Or $$\begin{array}{rrcl}& P\left(A_{n+1}\cap A_n\right)=P_{A_n}\left(A_{n+1}\right)\times P\left(A_n\right)& \text{soit}& P\left(A_{n+1}\cap A_n\right)=\mathrm{0,7}\times p_n\\ \text{et}& P\left(A_{n+1}\cap \overline{A_n}\right)=P_{\overline{A_n}}\left(A_{n+1}\right)\times P\left(\overline{A_n}\right)& \text{soit}& P\left(A_{n+1}\cap \overline{A_n}\right)=\mathrm{0,2}\times \left(1-p_n\right)\end{array}$$

   Par conséquent $$\begin{array}{rcl}P\left(A_{n+1}\right)& =& \mathrm{0,7}\times p_n+\mathrm{0,2}\times \left(1-p_n\right)\\ & =& \mathrm{0,5}\times p_n+\mathrm{0,2}\end{array}$$

   Ainsi, pour tout entier naturel n non nul, $p_{n+1}=\mathrm{0,5}{p}_n+\mathrm{0,2}$.

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3. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel n non nul par $u_n=p_n-\mathrm{0,4}$.

   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de son premier terme $u_1$.

      Le premier terme de la suite $\left(u_n\right)$ est :$$u_1=p_1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,2}-\mathrm{0,4}=-\mathrm{0,2}$$

      Pour tout entier $n⩾1$, $$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}& =& p_{n+1}-\mathrm{0,4}\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}{p}_n+\mathrm{0,2}-\mathrm{0,4}\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}{p}_n-\mathrm{0,2}\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}\times \left(p_n-\mathrm{0,4}\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}{u}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n non nul, $u_{n+1}=\mathrm{0,5}{u}_n$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 dont le premier terme est $u_1=-\mathrm{0,2}$.

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   2. En déduire pour tout entier naturel n l'expression de $u_n$ en fonction de n, puis l'expression de $p_n$ en fonction de n.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $u_1=-\mathrm{0,2}$ donc pour tout entier naturel $n⩾1$, $$\begin{array}{rcl}{u}_n=-\mathrm{0,2}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}& \iff & u_n=-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,5}}}\times {\mathrm{0,5}}^n\\ & \iff & u_n=-\mathrm{0,4}\times {\mathrm{0,5}}^n\end{array}$$.

      Comme pour tout entier naturel n non nul $u_n=p_n-\mathrm{0,4}\iff p_n=u_n+\mathrm{0,4}$ on en déduit que pour tout entier naturel n non nul $p_n=-\mathrm{0,4}\times {\mathrm{0,5}}^n+\mathrm{0,4}$.

      Pour tout entier naturel $n⩾1$, on a $p_n=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,4}\times {\mathrm{0,5}}^n$.

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   3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

      $0<\mathrm{0,5}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,5}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }-\mathrm{0,4}\times {\mathrm{0,5}}^n=0$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$. La suite $\left(u_n\right)$ converge vers 0.

      $\underset{n\to +\infty }{\lim }-\mathrm{0,4}\times {\mathrm{0,5}}^n=0$ d'où $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,4}-\mathrm{0,4}\times {\mathrm{0,5}}^n=\mathrm{0,4}$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{p}_n=\mathrm{0,4}$.

      $\underset{n\to +\infty }{\lim }{p}_n=\mathrm{0,4}$ alors, à partir d'un certain nombre de semaines, chaque semaine, environ 40 % des élèves de la classe choisiront l'accompagnement « Approfondissement »

      ---

4. On considère l'algorithme suivant où N est un entier :

   $P\leftarrow \mathrm{0,2}$
   Pour I allant de 2 à N
   $P\leftarrow \mathrm{0,5}P+\mathrm{0,2}$
   Fin Pour

   1. Donner la valeur de la variable P à la fin de l'exécution de cet algorithme lorsque $N=5$.

      $p_5=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,4}\times {\mathrm{0,5}}^5=\mathrm{0,3875}$

      Lorsque $N=5$, à la fin de l'exécution de cet algorithme $P=\mathrm{0,3875}$.

      ---

   2. Modifier l'algorithme afin qu'il calcule le numéro de la première semaine pour laquelle le pourcentage des élèves de la classe ayant choisi « Approfondissement » dépasse 39,9.

      $P\leftarrow \mathrm{0,2}$
      $N\leftarrow 1$

      Tant que $P⩽\mathrm{0,399}$
      $P\leftarrow \mathrm{0,5}P+\mathrm{0,2}$
      $N\leftarrow N+1$
      Fin Tant que

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