sujet : Asie 2017

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

1. Donner la valeur de $f\prime \left(1\right)$.

   La tangente Δ ' à la courbe ${𝒞}_f$ au point B d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(1\right)=0$.

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2. Quel est le signe de $f\prime \left(-2\right)$ ?

   La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[-3;-\mathrm{0,5}\right]$ donc $f\prime \left(-2\right)⩽0$.

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3. Donner la valeur de $f\prime \left(0\right)$.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la droite Δ, d'équation $y=\mathrm{0,5}x+3$, tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 0 d'où $f\prime \left(0\right)=\mathrm{0,5}$.

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4. Le point A est-il un point d'inflexion de la courbe ${𝒞}_f$ ?

   La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A ne traverse pas la courbe en ce point donc :

   le point A n'est pas un point d'inflexion de la courbe ${𝒞}_f$.

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5. Déterminer un encadrement par deux entiers consécutifs de ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   Sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ la fonction f est positive par conséquent, l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$. Or l'aire de ce domaine est encadrée par l'aire de deux rectangles d'aires respectives 3 et 4 unités d'aire.

   $3⩽{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽4$.

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partie b

On admet qu'il existe trois réels a, b et c pour lesquels la fonction f représentée dans la partie A est définie, pour tout réel x de $\left[-3;2\right]$, par : $f\left(x\right)=\left(a{x}^2+bx+c\right){\mathrm{e}}^x+5$.

1. En utilisant l'un des points du graphique, justifier que $c=-2$.

   Le point A de coordonnées $\left(0;3\right)$ appartient à la courbe ${𝒞}_f$ d'où $f\left(0\right)=3$. Soit $$\begin{array}{rcl}c\times {\mathrm{e}}^0+5=3& \iff & c=-2\end{array}$$

   Ainsi, $c=-2$.

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2. On admet que la fonction dérivée $f\prime$ est donnée, pour tout réel x de $\left[-3;2\right]$, par : $f\prime \left(x\right)=\left(a{x}^2+\left(2a+b\right)x-2+b\right){\mathrm{e}}^x$.
   En utilisant les résultats de la partie A, justifier que $b=\mathrm{2,5}$ puis que $a=-1$.

   $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(0\right)=\mathrm{0,5}& \iff & \left(-2+b\right)\times {\mathrm{e}}^0=\mathrm{0,5}\\ & \iff & -2+b=\mathrm{0,5}\\ & \iff & b=\mathrm{2,5}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est définie sur $\left[-3;2\right]$, par $f\prime \left(x\right)=\left(a{x}^2+\left(2a+\mathrm{2,5}\right)x-2+\mathrm{2,5}\right){\mathrm{e}}^x=\left(a{x}^2+\left(2a+\mathrm{2,5}\right)x+\mathrm{0,5}\right){\mathrm{e}}^x$.

   $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(1\right)=0& \iff & \left(a+\left(2a+\mathrm{2,5}\right)+\mathrm{0,5}\right)\times \mathrm{e}=0\\ & \iff & 3a+3=0\\ & \iff & a=-1\end{array}$$

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[-3;2\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(-x^2+\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,5}\right){\mathrm{e}}^x$.

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partie c

On admet que la fonction f est définie pour tout réel x de $\left[-3;2\right]$ par $f\left(x\right)=\left(-x^2+\mathrm{2,5}x-2\right){\mathrm{e}}^x+5$.

1. Vérifier que pour tout réel x de l'intervalle $\left[-3;2\right]$, $f\prime \left(x\right)=\left(-x^2+\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,5}\right){\mathrm{e}}^x$.

   Il suffit d'uitiliser les résultats de la partie B : $f\prime \left(x\right)=\left(a{x}^2+\left(2a+b\right)x-2+b\right){\mathrm{e}}^x$ avec $a=-1$ et $b=\mathrm{0,5}$.

2. Étudier le signe de $f\prime$ puis dresser le tableau de variation de f sur $\left[-3;2\right]$.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc sur l'intervalle $\left[-3;2\right]$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $-x^2+\mathrm{2,5}x-2$ avec $a=-1$, $b=\mathrm{0,5}$ et $c=\mathrm{0,5}$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=\mathrm{0,25}-4\times \left(-1\right)\times \mathrm{0,5}=\mathrm{2,25}\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,5}-\mathrm{1,5}}{-2}}=1\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,5}+\mathrm{1,5}}{-2}}=-\mathrm{0,5}\end{array}$$

   Comme $a<0$, nous pouvons déduire le signe de $f\prime \left(x\right)$ à partir du signe du trinôme $-x^2+\mathrm{2,5}x-2$ sur l'intervalle $\left[-3;2\right]$ :

   x	$-3$		$-\mathrm{0,5}$		1		2
   $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   x	$-3$		$-\mathrm{0,5}$		1		2
   $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	$5-\mathrm{18,5}{\mathrm{e}}^{-3}$		$5-\mathrm{3,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}$		$5-\mathrm{0,5}\mathrm{e}$		$5-{\mathrm{e}}^2$

3. 1. Justifier que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α sur $\left[1;2\right]$.

      • Sur l'intervalle $\left[-3;1\right]$, le minimum de la fonction f est $f\left(-\mathrm{0,5}\right)=5-\mathrm{3,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{2,88}$. Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle $\left[-3;1\right]$ on a $f\left(x\right)>0$.

        L'équation $f\left(x\right)=0$ n'a pas de solution sur $\left[-3;1\right]$.

      • Sur l'intervalle $\left[1;2\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante avec $f\left(1\right)=5-\mathrm{0,5}\mathrm{e}\approx \mathrm{3,64}$ et $f\left(2\right)=5-{\mathrm{e}}^2\approx -\mathrm{2,39}$ soit $f\left(2\right)<0<f\left(1\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

        sur l'intervalle $\left[1;2\right]$, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α.

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      L'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[1;2\right]$.

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   2. Donner la valeur de α arrondie au centième.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{1,84}$.

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