Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Asie 2017

Corrigé de l'exercice 4 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Pour l'année scolaire, un professeur propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d'accompagnement: « Approfondissement » ou « Ouverture culturelle ».
Chaque semaine, un élève doit s'inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.

La première semaine, 20 % des élèves de la classe ont choisi « Approfondissement » et tous les autres ont choisi « Ouverture culturelle ». On admet que, chaque semaine,

20 % des élèves ayant choisi « Ouverture culturelle » une certaine semaine s'inscrivent en « Approfondissement » la semaine suivante ;
30 % des élèves ayant choisi « Approfondissement » une certaine semaine s'inscrivent en « Ouverture culturelle » la semaine suivante.

On s'intéresse à l'évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d'accompagnement au fil des semaines.
On interroge au hasard un élève de la classe et on suit son choix d'option au fil des semaines.

On note A l'état « L'élève a choisi Approfondissement » et B l'état « L'élève a choisi Ouverture culturelle ».
1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
  Chaque semaine :
  - 20 % des élèves ayant choisi « Ouverture culturelle » une certaine semaine s'inscrivent en « Approfondissement » la semaine suivante d'où $p_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 0,2$ et $p_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 1 - 0,2 = 0,8$ .
  - 30 % des élèves ayant choisi « Approfondissement » une certaine semaine s'inscrivent en « Ouverture culturelle » la semaine suivante d'où $p_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 0,3$ et $p_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 1 - 0,3 = 0,7$ .
  D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
  La matrice de transition de ce graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ est : $M = (\begin{array}{ll} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{array})$ .
On note $P_{1}$ la matrice traduisant l'état probabiliste de la première semaine. Ainsi $P_{1} = (\begin{matrix} 0,2 & 0,8 \end{matrix})$ .
1. Donner la matrice $M^{2}$ puis déterminer la probabilité que l'élève ait choisi « Approfondissement » lors de la troisième semaine.
  $\begin{array}{lll} M^{2} & = & (\begin{array}{ll} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{array}) \times (\begin{array}{ll} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{ll} 0,7 \times 0,7 + 0,3 \times 0,2 & 0,7 \times 0,3 + 0,3 \times 0,8 \\ 0,2 \times 0,7 + 0,8 \times 0,2 & 0,8 \times 0,3 + 0,8 \times 0,8 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{ll} 0,55 & 0,45 \\ 0,30 & 0,70 \end{array}) \end{array}$
  M est la matrice de transition du graphe d'où $P_{3} = P_{1} \times M^{2}$ soit : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} a_{3} & b_{3} \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 0,2 & 0,8 \end{matrix}) \times (\begin{array}{ll} 0,55 & 0,45 \\ 0,30 & 0,70 \end{array}) \\ = & (\begin{matrix} 0,2 \times 0,55 + 0,8 \times 0,3 & 0,2 \times 0,45 + 0,8 \times 0,7 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} 0,35 & 0,65 \end{matrix}) \end{array}$
  La probabilité que l'élève ait choisi « Approfondissement » lors de la troisième semaine est égale à 0,35.
2. À long terme, quelle est la probabilité qu'un élève choisisse « Approfondissement » ?
  Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ avec $a + b = 1$ et vérifiant : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,7 a + 0,2 b & 0,3 a + 0,8 b \end{matrix}) \\ soit & {\begin{matrix} a = 0,7 a + 0,2 b \\ b = 0,3 a + 0,8 b \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 0,3 a - 0,2 b = 0 \\ - 0,3 a + 0,2 b = 0 \end{matrix} \end{array}$
  D'où a et b vérifient la relation $0,3 a - 0,2 b = 0$ . Comme d'autre part, $a + b = 1$ on en déduit que a et b sont solutions du système : $\begin{array}{rcl} {\begin{array}{rcl} 0,3 a - 0,2 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{lcl} 0,5 a & = & 0,2 \\ a + b & = & 1 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} a = 0,4 \\ b = 0,6 \end{matrix} \end{array}$
  L'état stable du système est $P = (\begin{matrix} 0,4 & 0,6 \end{matrix})$ donc à long terme, la probabilité qu'un élève choisisse « Approfondissement » est proche de 0,4.
Pour tout entier naturel non nul n on note :
- $a_{n}$ la probabilité que l'élève interrogé ait choisi « Approfondissement » lors de la n-ième semaine,
- $b_{n}$ la probabilité que l'élève interrogé ait choisi « Ouverture culturelle » lors de la n-ième semaine.
Montrer que pour tout entier naturel n non nul, on a : $a_{n + 1} = 0,5 a_{n} + 0,2$ .
M est la matrice de transition du graphe d'où pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , on a $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ . Soit pour tout entier naturel n : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} a_{n} \times 0,7 + b_{n} \times 0,2 & a_{n} \times 0,3 + b_{n} \times 0,8 \end{matrix}) \end{array}$
Ainsi, pour tout entier $n ⩾ 1$ , $a_{n + 1} = 0,7 a_{n} + 0,2 b_{n}$ avec $a_{n} + b_{n} = 1$ d'où $\begin{array}{rcl} a_{n + 1} & = & 0,7 a_{n} + 0,2 \times (1 - a_{n}) \\ = & 0,7 a_{n} + 0,2 - 0,2 a_{n} \\ = & 0,5 a_{n} + 0,2 \end{array}$
Pour tout entier naturel n non nul, on a $a_{n + 1} = 0,5 a_{n} + 0,2$ .
On admet que pour tout entier naturel n non nul, on a : $a_{n} = 0,4 - 0,4 \times {0,5}^{n}$ .
Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation suivante : $0,4 - 0,4 \times {0,5}^{n} > 0,399$ .
Pour tout entier $n ⩾ 1$ , $\begin{array}{rcll} 0,4 - 0,4 \times {0,5}^{n} > 0,399 & \Leftrightarrow & - 0,4 \times {0,5}^{n} > - 0,001 \\ \Leftrightarrow & {0,5}^{n} < 0,0025 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,5}^{n}) < \ln 0,0025 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,5 < \ln 0,0025 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,0025}{\ln 0,5} & \ln 0,5 < 0 \end{array}$
Comme $\frac{\ln 0,0025}{\ln 0,5} \approx 8,6$ alors :
Les solutions entières de l'inéquation $0,4 - 0,4 \times {0,5}^{n} > 0,399$ sont les entiers narurels $n ⩾ 9$ .
1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il calcule le plus petit entier naturel n non nul tel que $a_{n} > 0,399$ .
  
  $N \leftarrow 1$
  $A \leftarrow 0,2$
  Tant que $A ⩽ 0,399$
  $A \leftarrow 0,5 A + 0,2$
  $N \leftarrow N + 1$
  Fin Tant que
2. Quelle est la valeur de la variable N à la fin de l'exécution de cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
  Le plus petit entier n solution de l'inéquation $0,4 - 0,4 \times {0,5}^{n} > 0,399$ est 9.
  La valeur de la variable N à la fin de l'exécution de cet algorithme est 9. À partir de la neuvième semaine, le pourcentage d'élèves qui choisiront « Approfondissement » sera supérieur à 39,9 %.

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